Fórmula Cauchy Integral para Matrices

Question

¿Cómo puedo evaluar la Cauchy Integral Formula $f(A)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_Cf(z)(zI-A)^{-1}dz$ % matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4\end{array}\right)$y una función $f(x)=3x^2+1$?

Han evaluado la función directamente, usando interpolación y usando la forma Normal de Jordania y queremos mostrar que las soluciones son equivalentes.

La solución debe ser $f(A)=\left(\begin{array}16&24&-60\\36&76&-180\\12&24&-56\end{array}\right)$.

Answer 1

Elija el contorno de $C$, de modo que $|z| > \|A\|$ todos los $z$$C$. A continuación, tenga en cuenta que $(zI -A)^{-1} = \frac{1}{z}(I-\frac{A}{z})^{-1}$, y para$|z| > \|A\|$,$(zI -A)^{-1} = \frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{z^k}$. Desde $|z| > \|A\|$ todos los $z$$C$, la convergencia es uniforme, de modo que podemos intercambio de integración y totalización.

También tenga en cuenta que $f$ es analítica en $C$ y el 'interior' de $C$.

Esto le da \begin{eqnarray} f(A)&=&\frac{1}{2\pi i}\int\limits_Cf(z)(zI-A)^{-1}dz \\ &=& \frac{1}{2\pi i}\int\limits_Cf(z) \frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{z^k} dz \\ &=& \frac{1}{2\pi i} \sum_{k=0}^\infty \left(\int\limits_Cf(z) \frac{1}{z^{k+1}} dz \right) A^k \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{2\pi i}\int\limits_Cf(z) \frac{1}{z^{k+1}} dz \right) A^k \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} A^k \end{eqnarray}

(El valor específico que no importa, pero es fácil de calcular,$\|A\|_1 = 24$, así como el $|z|> 24$$C$, la fórmula anterior se mantiene.)

De ello se sigue que si $f(x) = \sum_{k=0}^n a_k z^k$,$f(A) = \sum_{k=0}^n a_k A^k$. Por lo tanto, en este caso, $f(A) = 3 A^2 +I$. La evaluación muestra que es igual a la respuesta anterior.