¿Primer teorema de isomorfismo para Monoids?

Question

De fondo

El Primer Teorema de Isomorfismo de los estados,

Si $G$ $H$ son los dos grupos y $\varphi:G\to H$ ser un grupo homomorphism, a continuación, $\varphi(G)$ es isomorfo a $G/\ker \varphi$.

Me preguntaba que si podemos generalizar este teorema a los más débiles estructuras algebraicas y he observado lo siguiente,

• La definición de grupo de homomorphism puede ser fácilmente generalizado a lo que podríamos llamar monoid homomorphism de la siguiente manera,

  $\color{crimson}{\text{Definition 1.}}$ Si $(G,\bullet)$ $(H,\circ)$ dos monoids, a continuación, un mapa de $\varphi:G\to H$ se dice que es un monoid homomorphism si $$\varphi(x\bullet y)=\varphi(x)\circ\varphi(y)$$for all $x,y\in G$.

• La definición de Subgrupo Normal de un grupo puede ser adecuadamente generalizado demasiado,

  $\color{crimson}{\text{Definition 2.}}$ Deje $G$ ser un monoid y $H$ ser un submonoid de $G$. Vamos a decir $H$ a ser normal submonoid de $G$ si $aH=Ha$ todos los $a\in G$.

• La definición de núcleo puede ser determinado de la siguiente manera si $H$ es un monoid,

  $\color{crimson}{\text{Definition 3.}}$ Deje $H$ ser un monoid y $\varphi: G\to H$ ser un monoid homorphism. Deje $e$ ser el elemento de identidad de $G$. Entonces podemos definir, $$\ker \varphi:=\{x\in G\mid \varphi(x)=e\}$$

Preguntas

A partir de esta discusión, podemos obtener la siguiente versión más general del Primer Teorema de Isomorfismo,

$\color{blue}{\text{Proposition 1.}}$ Deje $G$ $H$ son monoids y $\varphi:G\to H$ ser un monoid homomorphism. Entonces demostrar que $\varphi(G)$ es isomorfo a $G/\ker \varphi$.

Yo quería que el argumento del Teorema 10.3 de este libro. Sin embargo, un importante teorema utilizado para demostrar el Teorema 10.3 Teorema 9.2 y para demostrar el Teorema 9.2 tenemos que demostrar que para un monoid $M$ si $N$ ser cualquier submonoid de $M$, $aN=N$ fib $a\in N$. Pero esto lo puedo probar. Más específicamente, no puedo probar la siguiente proposición,

$\color{blue}{\text{Proposition 2.}}$ Deje $G$ ser un monoid y $H$ ser normal submonoid de $G$. Entonces el conjunto $G/H:=\{aH\mid a\in H\}$ es un monoid en virtud de la operación $(aH)(bH)=abH$ donde $a,b\in G$.

Así que, mis preguntas son,

1. Son las anteriores proposiciones verdaderas?

2. Si es así, ¿alguien puede dar alguna sugerencia en cuanto a cómo debería proceder a una prueba de dos de las proposiciones?

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Comentario

Hasta ahora he sido capaz de demostrar el siguiente resultado,

Teorema. Si $G$ ser un monoid y $H$ ser un submonoid de $G$$H=\displaystyle\bigcup_{a\in H} aH$.

Prueba De Dibujo. Deje $a\in H$. A continuación, $aH\subseteq H$ por el cierre de $H$. Desde $a$ es arbitrario, tenemos $\displaystyle\bigcup_{a\in H} aH\subseteq H$. Para demostrar el recíproco observar que, $$a\in H\implies a\in aH\implies \displaystyle\bigcup_{a\in H} aH$$ and since the above statement holds for all $un\in H$, hemos terminado.

pero no sé cómo esto ayuda (en todo caso)

Answer 1

La proposición $2$ es cierto, tan pronto como la operación en $G/H$ está bien definido, es decir, tan pronto como no depende de la elección de los representantes de la $a$ $b$ para los cosets $aH$$bH$. Este es el caso de la si $H$ es un "normal submonoid" como en la Definición 2, y puede ser más o menos como en grupos.

Pero no es cierto que $aN=N$ es equivalente a $a\in N$ si $N$ es un submonoid: por ejemplo, si usted toma el monoid de números naturales con la operación dada por la multiplicación, a continuación, $N=\{0,1\}$ es un submonoid, y $0\in N$; pero $0N=\{0\}\neq N$.

Como he mencionado en un comentario, el verdadero problema es que el núcleo de un homomorphism puede ser trivial, sin la homomorphism ser inyectiva. Por ejemplo, considere la homomorphism $$\varphi : (\Bbb N,\cdot ,1)\to (\Bbb N,\cdot ,1): x\mapsto 0 \text{ iff } x\neq 1;$$only $1$ is sent to $1$, so the kernel is trivial; but it is not injective, since every natural other than $1$ is mapped to $0$. Thus the quotient monoid (if it is well-defined) should be isomorphic to $\Bbb, N$, while the image of $\varphi$ is the submonoid $$ N se define anteriormente. El problema con monoids es que, a diferencia de los grupos, usted no puede tomar la recíproca, de modo que el núcleo no le da suficiente información.

Sin embargo, existe una forma de teorema de isomorfismo que contiene; en lugar de quotienting por un subobjeto, usted necesita cociente por la relación de equivalencia definida por $$x\sim y\Leftrightarrow \varphi(x)=\varphi(y).$$ A continuación, puede definir una operación en la clases de equivalencia por poner $\overline{x}\cdot \overline{y}=\overline{x\cdot y}$, y muestran que la $\varphi$ factorise a través del cociente; y esta factorización será inyectiva porque de la elección de la relación.

Answer 2

Como Arnaud D. ya se señaló, su enfoque es demasiado ingenua para que funcione correctamente, pero usted puede considerar el núcleo de la congruencia asociados a $\varphi$. Este enfoque funciona para muchos tipos de álgebras, incluyendo monoids. Ver Primer Teorema de Isomorfismo para obtener más detalles.

Definir el núcleo de un homomorphism de monoids es otra historia y se tomó un largo tiempo para obtener una definición apropiada. El principal problema con la definición 3, que ha sido frecuentemente utilizado, es que no contiene suficiente información.

La diferencia entre monoids y los grupos pueden ser esquematizadas de la siguiente manera. Deje $\pi: H \to G$ ser un surjective grupo de morfismos y deje $K = \pi^{-1}(1)$. A continuación, $\pi(x_1) = \pi(x_2)$ fib $x_1x_2^{-1} \in K$. Vamos ahora a $\pi: M \to G$ ser un surjective monoid de morfismos y deje $K = \pi^{-1}(1)$. Incluso si $K$ es dado, no ayuda a decidir si $\pi(x_1) = \pi(x_2)$, una diferencia importante!

Para evitar este problema, uno debe considerar el más general de álgebras de monoids, a saber, las categorías. Voy a explicar el caso de una surjective monoid de morfismos $\pi$ a partir de una monoid $M$ a un grupo de $G$ (en el caso general, donde $G$ es un monoid, es un poco más difícil de manejar).

Definición. El núcleo de la categoría $Ker(\pi)$ $\pi$ $G$ como su conjunto de objetos y para todos los $g, h \in G$ $$ Mor(u, v) = \{ (u, m, v) \G \times M \times G \mid u\pi(m) = v \} $$ Tenga en cuenta que $Mor(u, u)$ es un monoid igual a $\pi^{-1}(1)$ y $G$ actúa de forma natural (a la izquierda) en $Ker(\pi)$.

No voy a dar aquí los detalles de esta teoría, pero me gustaría dar a su espíritu. En teoría de grupos, si $\pi: H \to G$ es un surjective grupo de morfismos y $K$ es el núcleo de $\pi$, el problema de la síntesis consiste en la construcción de $H$$G$$K$. Esto es en general un problema muy difícil y hay una enorme literatura sobre este tema. De la misma manera, si $\pi: M \to G$ es un surjective monoid de morfismos, a uno le gustaría obtener información sobre $M$, determinado$G$$Ker(\pi)$. Los resultados obtenidos en monoid teoría son mucho más débiles que los resultados correspondientes para grupos, pero son, sin embargo, no trivial para obtener.

Para obtener más información sobre este tema ver estas diapositivas y las siguientes referencias:

[1] S. Margolis, J.-É. Pin, y la Inversa semigroups y extensiones de grupos por semilattices, J. de Álgebra 110 (1987), 277-297.

[2] J. Rhodes, B. Steinberg, El $q$-teoría de finito semigroups. Springer Monografías en Matemáticas. Springer, Nueva York, 2009. xxii+666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0

[3] B. Steinberg, B. Wilson, Categorías como álgebra. II. Internac. J. Álgebra Comput. 13 (2003), no. 6, 627--703.

[4] Tilson, Bret. Categorías como álgebra: un ingrediente esencial en la teoría de la monoids. J. Pure Appl. Álgebra 48 (1987), no. 1-2, 83--198.