Si $xH=yH$, entonces el $xy^{-1} \in H$.

Question

Utilizar un contraejemplo para refutar las declaraciones siguientes:

• Si $xH=yH$, entonces el $xy^{-1} \in H$.
• Si $xy^{-1} \in H$, entonces el $xH=yH$.

Yo estaba pensando para la primera declaración: $$xH=yH \rightarrow y^{-1}x \in H$ $ pero sabemos si H es conmutativa. ¿Es esto correcto?

Sería el mismo para la segunda declaración.

Answer 1

Considerar el grupo diedro $D_3 = \langle r,s\,|\,r^3=s^2=1, rs=sr^2\rangle$ de orden seis y su subgrupos $H = \{ 1,s\}$ y $H' = \{1,sr\}$. Que $x = r$ y $y=sr^2$. Entonces

(1) $xH = \{ r,sr^2\} = yH$ but $xy^{-1} = sr \notin H$;

(2) $xy^{-1} = sr\in H'$ but $xH' = \{r,s\} \neq \{r^2,sr^2\} = yH'$.

Answer 2

Yo no conozco a ningún grupo de teoría. He aquí cómo me di cuenta de un contraejemplo a su primera declaración, el hecho de saber las definiciones básicas, y después de mi nariz.

En primer lugar, me di cuenta de que $xH=yH$$y^{-1}x\in H$. Así que estoy buscando un ejemplo de que la $y^{-1}x\in H$ mientras $xy^{-1}\notin H$. Por lo $x$ $y$ no debe conmutar.

Tratando de mantener las cosas simples, me llevó a $y=y^{-1}=(1\ 2)$.

A continuación necesitaba una permutación que no conmuta con $(1\ 2)$, así que me tomé $x=(1\ 3)$ y espera lo mejor. [. . .]

Que no filtra hacia fuera, así que la próxima traté de $x=(1\ 2\ 3)$. He encontrado que $y^{-1}x=(1\ 2)(1\ 2\ 3)=(2\ 3)$ $xy^{-1}=(1\ 2\ 3)(1\ 2)=(1\ 3)$ . Ahora todo lo que necesitaba era un grupo de $H$ contiene $(2\ 3)$ pero no $(1\ 3)$. Para que me tomé el grupo más pequeño que contiene a $(2\ 3)$, lo $H=\langle(2\ 3)\rangle=\{(1),(2\ 3)\}$.

Así que ahora tenía mi contraejemplo: $H=\{(1),(2\ 3)\}$, $x=(1\ 2\ 3)$, $y=(1\ 2)$.

Por último, he comprobado: $xH=(1\ 2\ 3)\{(1),(2\ 3)\}=\{(1\ 2\ 3),(1\ 2)\}$, e $yH=(1\ 2)\{(1),(2\ 3)\}=\{(1\ 2),(1\ 2\ 3)\}=\{(1\ 2\ 3)(1\ 2)\}=xH$, amd $xy^{-1}=(1\ 3)\notin H$, así que todo está bien!

En cuanto a la segunda afirmación, yo soy demasiado perezoso para comenzar todo de nuevo, Así que voy a tratar de usar el mismo $x$ $y$ como antes, con un nuevo $H$. Quiero $xy^{-1}\in H$ mientras $xH\ne yH$. Desde $xy^{-1}=(1\ 3)$, supongo que me llevaré $H=\langle(1\ 3)\rangle=\{(1),(1\ 3)\}$. Es $xH=yH$? Bien, $x\in xH$; es $x\in yH$? Vamos a ver, $yH=(1\ 2)\{(1),(1\ 3)\}=\{(1\ 2),(1\ 3\ 2)\}$, lo $x\notin yH$$xH\notin yH$.

Bueno, eso es como yo lo hice. No parece tan difícil. ¿Dónde te quedas atascado?