¿Cuál es la base del espacio vectorial $l^\infty$?

Question

Sabemos que cada espacio del vector tiene una base de Hamel y también cada espacio normado no necesita tener una base de Schauder. ¿El espacio normado $l^\infty$ no es Separable por lo tanto no puede tener la base de Schauder, pero en el otro lado $l^\infty$ es también un vector de espacio así lo que será la base de Hamel de $l^\infty$?

Answer 1

Una indicación de que usted no puede esperar explícita ejemplo es que esto no puede ser probado en ZF.

En un infinito-dimensional normativa espacio, la existencia de Hamel implica la existencia de discontinuo lineal funcional. Y es coherente con ZF que no hay discontinuo lineal funcionales en $\ell_\infty$, ver aquí: En cada infinito-dimensional espacio de Banach existe una discontinuo lineal funcional. (Tal vez hay una manera más sencilla argumento, pero esto es lo que yo era capaz de llegar con.)

Sin embargo, si sólo quieres una prueba de que $\ell_\infty$ ha Hamel base, que es el estándar de la aplicación del lema de Zorn. De hecho, cada linealmente independientes conjunto está contenida en una base. (Y para esto una prueba de que no hay nada especial acerca de la $\ell_\infty$ - funciona para cualquier espacio vectorial exactamente en la misma forma.)

Answer 2

Incluso para los espacios de Banach infinito-dimensional separables una base de Hamel no es algo que podemos exponer concretamente. Vive en tierra del axioma de elección. Más aún para $\ell^\infty$.