Suma ponderada de las plazas, en un campo finito

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo finito. Deje $a_1,\dots,a_n \in \mathbb{F}$ ser dado. Quiero saber si existe $x_1,\dots,x_n \in \mathbb{F}$ tal que

$$a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \dots + a_n x_n^2 = 1.$$

Mi pregunta: ¿se Puede caracterizar esta ecuación tiene una solución, es decir, mediante algún criterio en $a_1,\dots,a_n$? Hay un limpio caracterización, en términos de $a_1,\dots,a_n$ y las propiedades de $\mathbb{F}$?

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Aquí es lo que puedo ver de inmediato. En primer lugar, si $n=1$, no hay una respuesta fácil (la ecuación tiene una solución iff $a_1$ es un cuadrado en $\mathbb{F}$). Segundo, si alguna de las $a_i$ es un cuadrado en $\mathbb{F}$, la ecuación tiene una solución (conjunto de todos los otros $x_j$'s $0$), por lo que podemos suponer que todas las $a_i$'s no son cuadrados y que $n \ge 2$. En tercer lugar, si $-1$ es un cuadrado en $\mathbb{F}$, entonces la ecuación tiene una solución: podemos tomar $x_2 = \sqrt{-a_1/a_2} \cdot x_1$. Pero lo que sobre el caso donde $-1$ no es una plaza en $\mathbb{F}$? Siempre es garantía de tener una solución en este caso?

Answer 1

Para $n\ge 2$, esta ecuación siempre tiene una solución, suponiendo que existen al menos dos $a_i$'s que no son cero. Considere la ecuación

$$a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 = 1.$$

Esta ecuación siempre tiene una solución para $x_1,x_2$. En particular, el conjunto de $S=\{a_1 x_1^2 : x_1 \in \mathbb{F}\}$ tiene el tamaño de $|S|=(|\mathbb{F}|+1)/2$, ya que hay $(|\mathbb{F}|-1)/2$ cero plazas en $\mathbb{F}$, más el uno por cero. Del mismo modo, dejando $T=\{1-a_2 x_2^2 : x_2 \in \mathbb{F}\}$, podemos ver que $|T|=(|\mathbb{F}|+1)/2$. Desde $|S|+|T| > |\mathbb{F}|$, por el principio del palomar debe existir algún elemento común en la intersección de las $S \cap T$. Esto demuestra que no se garantiza que existe una solución de la ecuación.

Para $n>2$, simplemente podemos establecer $x_3=x_4=\cdots=x_n=0$ y reducir, para el caso de estudio anterior.

Muchas gracias a Gerry Myerson para la idea clave.