Distribución de la diferencia de las variables chi-cuadrado

Question

Estoy tratando de obtener la función de distribución de probabilidad de $Z=X-Y$ . Dado que $f_X(x)$ y $f_Y(y)$ son conocidas, y ambas variables tienen una distribución chi-cuadrado, $X\in\mathbb{R}$ , $X\ge 0$ , y de forma similar $Y\in\mathbb{R}$ , $Y\ge 0$ . Entonces, ¿cómo puedo conseguir $f_Z(z)$ .

Answer 1

Supongamos que $X$ y $Y$ son independientes, y ambos siguen $\chi^2$ -distribución con $\nu$ grados de libertad.

Entonces $Z = X-Y$ es simétrica respecto al origen distribución varianza-gamma con parámetros $\lambda = \frac{\nu}{2}$ , $\alpha=\frac{1}{2}$ y $\beta=0$ y $\mu = 0$ .

La mejor manera de ver esto es a través de la función de generación de momentos: $$ \mathcal{M}_X(t) = \mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\nu/2} $$ Entonces $$ \mathcal{M}_Z(t) = \mathcal{M}_X(t) \mathcal{M}_Y(-t) = \left( 1-4 t^2 \right)^{-\nu/2} = \left( \frac{1/4}{1/4-t^2}\right)^{\nu/2} $$ Ahora esto que coincide con la función generadora de momentos de la distribución gamma de varianza: $$ \mathcal{M}_{\rm{V.G.}(\lambda,\alpha,\beta,\mu)}(t) = \mathrm{e}^{\mu t} \left( \frac{\alpha^2 -\beta^2}{\alpha^2 - (\beta+t)^2 } \right)^\lambda $$ Para dichos parámetros, $\mu=\beta=0$ , $\alpha=\frac{1}{2}$ y $\lambda=\frac{\nu}{2}$ la densidad tiene la siguiente forma: $$ f_Z(z) = \frac{1}{2^{\nu/2}\sqrt{\pi}} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \vert z \vert^{\tfrac{\nu-1}{2}} K_\tfrac{\nu-1}{2}\left(\vert z \vert \right) $$ La función $f_Z(z)$ es continua en $z=0$ para $\nu > 1$ con $$ \lim_{z \to 0} f_Z(z) =\frac{1}{4 \sqrt{\pi }} \frac{\Gamma \left(\frac{\nu }{2}-\frac{1}{2}\right)}{ \Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)} $$