Cómo dividir una pizza entre amigos igualmente sin centro

Question

He aquí una muy divertida pregunta un amigo me dijo que me amas. Afirma saber la respuesta correcta, y me dijo la respuesta, pero dejó probar la respuesta como un ejercicio para mí. Ahora, ha pasado una eternidad desde que él me hizo la pregunta, y él mismo parece haber olvidado la solución, así que aquí está la pregunta por la comunidad(he intentado buscar, pero inútil):

Dos amigos van a una tienda de pizza y la compra de uno. Se deciden a hacer 8 rebanadas de la pizza. Entonces el camarero viene y les reta a cortar la pizza tal que el punto donde todas las líneas de corte satisfacer NO está en el centro de la pizza, pero otro punto. Los amigos son sacudidas de cada uno de los otros y pensar que uno de ellos se obtiene una mayor área f pizza es este método se utiliza. Para satisfacer tanto de ellos, el camarero mismo recortes de tal manera que ambos obtienen 4 rebanadas, y allí área total es igual. ¿Cómo el camarero hacer esto ?

Así que, básicamente, usted tiene que sacar los acordes de todo el círculo que todos ellos se cruzan en un punto determinado(eso es no el centro) y, a continuación, elija 4 piezas de igual área a la de los otros 4.

Mi amigo afirma que si dividimos el círculo en la imagen de abajo:

DE esta manera, o básicamente cualquier manera, la siguiente propiedad se tiene:

ar(1) + ar(3) + ar(5) + ar(7) = ar(2) + ar(4) + ar(6) + ar(8)

Por lo tanto, los dos amigos se puede distribuir la pizza entre sí. Pero ahora, él no recuerda cómo probar esto matemáticamente. Él dice que la prueba es muy fácil y era infantil y obvio una vez que lo hayas leído, pero él es incapaz de localizar el libro que fue parte de ahora...

Así que, me dirijo a vosotros, amigos, que me ayude a resolver esto.

Gracias de antemano,

Nib

Answer 1

No creo que el reclamo. Mira en la siguiente figura, en la que cada "fino" área es menor que el de sus dos vecinos. Claramente la suma de las áreas delgadas es menor que la suma de la grasa de las áreas.

Es posible que haya alguna disposición de áreas (es decir, tengo dos grandes y dos pequeñas, y se obtienen dos grandes y dos pequeños) en la que la pizza área sale igual...pero no es "la alternancia de pares e impares".

Y si mueve el "punto de corte" incluso más cerca del borde, es posible obtener una situación en la que una parte es más de la mitad de la pizza, en cuyo caso no puede ser, posiblemente, una división equitativa.

Creo que tu amigo debe de haber olvidado algo. (Y como Claude comentario muestra...la falta cosa es "los ángulos en el sector centro-todos debemos ser iguales", que los que en el diagrama no lo son).

He aquí una posible solución: elija un punto de $C$ a ser el centro, y vamos a $P$ ser el punto del círculo cerca de $C$. Dibujar la línea de $PC$, que será de un diámetro, y, a continuación, dibuje tres líneas más. Dar a una persona todos los sectores en un lado de la $PC$, y el otro todos los sectores en el otro lado. Luego cada uno la mitad de la pizza. Esto responde a la pregunta original, aunque no de su amigo de la reclamación. Tal vez limpiador manera:

Sacar el diámetro de un círculo como su primera línea, y, a continuación, dibuje tres líneas que se unen en algún punto central de ese diámetro. A continuación, dar a cada persona las rodajas en un lado del diámetro.