¿$\mathbb{Q}[X,Y]/(X,Y^{2}-1)$ Esto es una máxima ideal o un ideal principal?

Question

¿$\mathbb{Q}[X,Y]/(X,Y^{2}-1)$ Esto es una máxima ideal o un ideal principal?

Hasta ahora tengo:

es isomorfo a $\mathbb{Q}[X,Y]/(X,Y^{2}-1) = \left(\mathbb{Q}[Y]\right)X/(X,Y^{2}-1)$ $\mathbb{Q}[Y]/(Y^{2}-1)$ = $\mathbb{Q}[Y]/(Y+1)(Y-1)$. Porque ahora tenemos cero divisores esto no puede ser un dominio, por lo que su no puede ser un primer/máximo ideal.

No confío en mi prueba porque no sé por qué el segundo paso sería válido.

Por favor ayuda :)

Kees

Answer 1

Vamos a garantizarle que puede hacer el paso de su razonamiento que no estaban seguros sobre rigurosamente.

Definitivamente ha bien que $\Bbb Q[X,Y]=(\Bbb Q[X])[Y]$.

Entonces mirando a $\mathbb{Q}[X,Y]/(X,Y^{2}-1) = \left(\mathbb{Q}[Y]\right)[X]/(X,Y^{2}-1)$, la idea sería aplicar un teorema de isomorfismo para decir que:

$$ \left(\mathbb{Q}[Y]\right) [X] / (X, Y ^ {2} - 1) \cong \frac{\mathbb{Q}[Y][X]/(X)}{(X,Y^{2}-1) / (X)} $

La parte superior es obviamente $\Bbb Q[y]$ bajo la evaluación mapa $X\to 0$, y la parte inferior es el % ideal $(Y^2-1)$en ese anillo, por lo que de hecho tiene $\frac{\mathbb{Q}[Y]}{(Y^{2}-1) }$.

Answer 2

Tienes razón. El % de polinomios $Y - 1$y $Y + 1$ están fuera del % ideal $(X, Y^2 - 1)$, pero su producto se contiene en él, por lo tanto no puede ser un primer ideal. Puesto que cualquier ideal maximal es primo, no puede ser máxima o bien.

Answer 3

No puede ser máxima, como correctamente se contiene tanto el % de ideales máxima (distinto) $(X,Y\pm 1)$.

Answer 4

Al final no necesita la igualdad $Q[Y]/(Y^2−1) = Q[Y]/(Y+1)(Y−1) $. Es suficiente decir que $(Y-1)$ y $(y+1)$ son cero divisores, por lo que esto no es un dominio y por lo tanto no puede ser primero (o máxima).