Cómo encontrar este número $a,b$

Question

Pregunta

dejó la función $f(x)=ax^2+b$, encontrar todos los números reales positivos $(a,b)$, tales para cualquier número real, entonces tenemos $$f(xy)+f(x+y)\ge f(x)f(y)$ $

Mi intento:

desde $$f(xy)+f(x+y)\ge f(x)f(y)\Longrightarrow a(xy)^2+b+a(x+y)^2+b\ge (ax^2+b)(ay^2+b)$ $

Answer 1

$f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)⟹a(xy)^2+b+a(x+y)^2+b≥(ax^2+b)(ay^2+b)$

$ax^2y^2+a(x^2+y^2)+2axy+2b\ge a^2x^2y^2+ab(x^2+y^2)+b^2$

$2b-b^2\ge (a^2-a)x^2y^2+(ab-a)(x^2+y^2)-2axy$....(*)

$\frac{2b-b^2}{a}\ge (a-1)x^2y^2+(b-1)(x^2+y^2)-2xy$

En la última parte, se supone que $a\neq0$. Puesto que el lado izquierdo es una constante, la derecha debe tener el límite superior que es menor o igual a la del lado izquierdo. Si $a-1> 0$, el lado derecho no tiene límite superior. Si $a-1<0$, $b-1>0$, y $y=0$, el lado derecho todavía diverge cuando x-> $\infty$. Por la misma razón, cuando se $a-1=0$, el lado derecho no tiene límite superior. Por lo tanto, consideramos el caso en que $a-1<0$$b-1\le0$. Si $x=0$, el valor máximo de la derecha es $0$; por lo tanto, $2b-b^2\ge0$ $a>0$ o $2b-b^2\le0$$a<0$. El primer caso es equivalente a $2\ge b$$a>0$. Esto implica que la desigualdad funciona si $0< a<1$$b\le1$. Huelga decir que, en el segundo caso no funciona.