Multiplicando dos logaritmos

Question

Ya he buscado alguna respuesta, pero no he podido encontrar ninguna solución a este problema. Aparentemente, no hay ninguna regla para el producto de dos logaritmos. ¿Cómo podría entonces encontrar la solución exacta de este problema? $$ \log (x) = \log (100x) \, \log (2) $$

Answer 1

$\log(x) = (\log(100) + \log(x))\cdot\log2$

$\log(x) = \log(100)\cdot\log(2) + \log(x)\cdot\log(2)$

Se trata de una ecuación lineal en $\log(x)$ ¡!

Answer 2

¿Cómo podría entonces encontrar la solución exacta de este problema?

Manipular la ecuación para aislar $x$ . \begin{align*} \log(x) &= (\log(100)+\log(x))\log(2) \\ \log(x) &=\log(100)\log(2)+\log(x)\log(2)\\ \log(x)-\log(x)\log(2)&=\log(100)\log(2)\\ \log(x)(1-\log(2))&=\log(100)\log(2) \\ \log(x)&=\log(100)\log(2)/(1-\log(2))\\ \end{align*} Entonces resuelve $x$ con la base que utilice tu logaritmo. Por ejemplo, con base 10, $$x\approx7.267$$

Answer 3

La pregunta no especifica la base $B$ del logaritmo, pero afectará a la solución, así que lo hacemos explícito: \begin{align} \log_B(x) &= \log_B(100\, x) \, \log_B(2) \\ &= (\log_B(100) + \log_B(x)) \, \log_B(2) \iff \\ (1 - \log_B(2)) \log_B(x) &= \log_B(2) \log_B(100) \\ \end{align} Para $B = 2$ el LHS desaparece y no tenemos solución, ya que los logaritmos del RHS no desaparecen.

Para $B \ne 2$ podemos continuar: \begin{align} \log_B(x) = \frac{\log_B(2) \, \log_B(100)}{1 - \log_B(2)} = f(B) \iff \\ x = B^{f(B)} = B^{(\log_B(2) \, \log_B(100))/(1 - \log_B(2))} \end{align}

Para $B=e$ se obtiene $$ x = e^{f(e)} = e^{10.4025\dotsb} = 32944.48\dotsb $$

Aquí están los gráficos de $f(B)$ :

(Enlaces a versiones más grandes: a la izquierda , a la derecha )

Answer 4

Rellene los datos después de compruebas las propiedades básicas de los logaritmos, y asumiendo $\;\log=\log_{10}\;$ :

$$\log x=\log 100x\cdot\log2=\left(\log100+\log x\right)\log2\implies$$

$$(1-\log2)\log x=2\log2\implies\ldots$$