Es posible obtener una forma cerrada para $1+2^i+3^i+\cdots (N-1)^i$ ?

Question

Dejemos que $i=\sqrt{-1}$ la unidad imaginaria compleja, tomando $$arg(2)=0$$ para la definición del sumando $2^i$ en $$1^i+2^i+3^i+\cdots (N-1)^i,$$ como $$2^i=\cos\log 2+ i\sin\log 2,$$

véase [1].

Pregunta. Es posible obtener una forma cerrada (o la mejor aproximación posible), para un número entero $N\geq 1$ $$1+2^i+3^i+\cdots (N-1)^i,$$ donde los sumandos se definen de la misma manera, tomando principales ramas del argumento complejo y de la exponenciación compleja ?

Gracias de antemano , mi objetivo es empezar a refrescar algunos hechos fáciles en variable compleja, por favor, dígame si hay errores en el uso de las definiciones anteriores.

Referencias:

[1] MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html http://mathworld.wolfram.com/ComplexArgument.html

Answer 1

Creo que hay una forma cerrada, aviso:

$$1^i+2^i+3^i+\dots+(n-1)^i=\sum_{k=2}^{n}\left(k-1\right)^i=\sum_{k=1}^{n-1}k^i=\text{H}_{n-1}^{(-i)}=\zeta(-i)-\zeta(-i,n)$$

Donde $\zeta(s,a)$ es la función zeta de Hurwitz, $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann y

$\text{H}_{n}^{(r)}$ es el número harmoico generalizado.

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EDITAR:

$$\zeta(-i)=\lim_{s\to0}\left[\sum_{k=1}^{\infty}k^{i-s}\right]\approx 0.0033+0.4182i$$

Answer 2

En primer lugar, usted hace la suposición $$1^i=1$$ Cuando esto no es cierto. $$1^i=e^{\pm2\pi n},n=0,1,2,3,\ldots$$

De forma más general, resolveré $$1^x+2^x+3^x+4^x+5^x\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}n^x$$ Esto tiene solución obtenida a través de la permutación: $$\sum_{n=2}^{m}n^x+n=\sum_{n=1}^{m-1}n^x+n^m$$$$ \sum_{n=1}^{m-1}(n+1)^x+n=\sum_{n=1}^{m-1}n^x+n^m $$Apply Binomial thereom:$$ (n+1)^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{x-n}1^nx!}{(x-n)!n!} $$$$\sum_{n=1}^{m-1}\sum_{i=n}^{\infty}\frac{n^{x-n}1^nx!}{(x-n)!n!}+n=\sum_{n=1}^{m-1}n^x+n^m$$

Y ahora, para ser honesto contigo, no puedo continuar desde aquí.

O quizás lo tomé del método de solución equivocado.