Interpretación cualitativa de la transformada de Hilbert

Question

el conocido de Kramers-Kronig las relaciones del estado que para una función de la satisfacción de determinadas condiciones, de su parte imaginaria es la transformada de Hilbert de su parte real.

Esto sucede a menudo en la física, donde se puede utilizar con resonancias y absorción. Lo que normalmente se encuentra allí es la siguiente: Donde la parte imaginaria se tiene un pico, la parte real pasa por cero.

Esta es una regla general?

Y hay declaraciones más generales posible? Para las transformadas de Fourier, por ejemplo, sé que la declaración de que un pico, con una anchura $\Delta$ en el dominio del tiempo corresponde a un pico, con una anchura $1/\Delta$ (faltan algunos de los factores $\pi$, estoy seguro...) en el dominio de la frecuencia.

¿Hay alguna regla que me dice cómo la transformada de Hilbert de una función finita de apoyo (por ejemplo, con un ancho de banda de $W$) se parece a, aproximadamente?

Tanques, Lagerbaer

Answer 1

Nunca había oído hablar de la de Kramers-Kronig relaciones y me miró. Relaciona las partes real e imaginaria de una analítica de la función en la mitad superior del plano que satisface ciertas condiciones de crecimiento. Esta es una gran área en el análisis complejo y hay muchos resultados. Por ejemplo, en el caso de una función con soporte compacto, su transformada de Hilbert nunca puede tener compacto de apoyo, o incluso desaparecer en un conjunto de medida mayor $0$. Muchos libros de funciones analíticas (especialmente en $H^p$ espacios y delimitada funciones analíticas) cubrir este tema. Algunos libros en el procesamiento de la señal también de la cubierta de esto, pero desde una perspectiva diferente, y en la mayoría de los casos, menos riguroso.