Mostrando que $ \left( \frac{a+2b}{a+2c}\right)^3+\left( \frac{b+2c}{b+2a}\right)^3+\left( \frac{c+2a}{c+2b}\right)^3 \geq3 $

Question

Me gustaría mostrar que:

$$ \left( \frac{a+2b}{a+2c}\right)^3+\left( \frac{b+2c}{b+2a}\right)^3+\left( \frac{c+2a}{c+2b}\right)^3 \geq3 $$

Usando la desigualdad de AM-GM:

$$ \left( \frac{a+2b}{a+2c}\right)^3+\left( \frac{b+2c}{b+2a}\right)^3+\left( \frac{c+2a}{c+2b}\right)^3 \geq3\frac{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}{(a+2c)(b+2a)(c+2b)} $$

Basta para mostrar:

$$ \frac{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}{(a+2c)(b+2a)(c+2b)} \geq1 $$

$$ \Longleftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-(a^2b+b^2c+c^2a)\geq0$$

$$ \Longleftrightarrow x+y+z\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

$$ xyz=1$$

($x=\frac{a}{b}$, $y=\frac{b}{c}$, $z=\frac{c}{a}$)

¿Cómo puedo probar esta última desigualdad? ¿Hay alguna prueba más simple?

Answer 1

Voy a demostrar que esto es cierto para $a,b,c>0$. Si se les permite no ser positivo, hay contraejemplos; por ejemplo, $(a,b,c)=(1,0,-1)$.

Ya que esta expresión es homogénea en $a,b,c$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a+b+c=1$. A continuación, ajuste de $x=c-b$, $y=a-c$, $z=b-a$ rendimientos: $$ \left(\frac{a+2b}{a+2c}\right)^3+\left(\frac{b+2c}{b+2a}\right)^3+\left(\frac{c+2a}{c+2b}\right)^3=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^3+\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^3 \, . $$ Pero si $a,b,c$ son positivos y $a+b+c=1$,$0<a,b,c<1$, del que se desprende que $-1<x,y,z<1$. Como la función de $f(t)=\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^3$ es cóncava hacia arriba en $(-1,1)$, tenemos: $$ \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^3+\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^3=f(x)+f(y)+f(z) \geq 3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=3f(0)=3 \, . $$ Esto completa la prueba.

Answer 2

¿O tal vez sólo por la desigualdad del titular? $$\left(\sum_{cyc} \left(\frac{a+2b}{a+2c} \right)^3 \right) \left(\sum_{cyc}(a+2b)(a+2c)\right)\left(\sum_{cyc}(a+2c)\right)^2 \ge \left(\sum_{cyc}(a+2b)\right)^4$ $ Y $\displaystyle \sum_{cyc}(a+2c) = 3(a+b+c) = \sum_{cyc}(a+2b)$ $$\displaystyle \sum_{cyc}(a+2b)(a+2c) = a^2 + b^2 + c^2 + 8(ab + bc + ca) = (a+b+c)^2 + 6(ab+bc+ca) \le 3(a+b+c)^2$$ because $3(ab + bc+ca) \le (a + b + c) ^ 2$, hence we have that $% $ $\sum_{cyc} \left(\frac{a+2b}{a+2c} \right)^3 \ge 3$que termina la prueba.