Soluciones continua de $f(x) = \lambda \int_0^{\pi/2} \cos({x-y)}f(y)\,dy$

Question

Posibles Duplicados:
Los autovalores de un operador

Encontrar todas las funciones de $f \in C([0,\frac{\pi}{2}])$ cuales son las soluciones de $$ f(x) = \lambda \int_0^{\pi/2} \cos({x-y)}f(y)\,dy, \qquad \lambda \in \mathbb R. $$

Sólo traté de algunas manipulaciones algebraicas y cálculos, pero no sé ho para enfrentar este problema. Cualquier ayuda o sugerencia es bienvenida. Muchas gracias.

Answer 1

Una solución diferente de la de nbubis es la diferenciación bajo el signo integral. Por lo tanto tenemos,\begin{equation} \frac{df(x)}{dx} = - \lambda \int_0^{\pi/2} \sin({x-y)}f(y)\,dy, \qquad \lambda \in \mathbb R. \end{equation}

y luego diferenciando obtenemos otra vez\begin{equation} \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} = - \lambda \int_0^{\pi/2} \cos({x-y)}f(y)\,dy, \qquad \lambda \in \mathbb R. \end{equation}

que es básicamente\begin{equation} \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} = - f(x), \qquad \lambda \in \mathbb R. \end{equation}

Por lo tanto,\begin{equation} f(x) = a\cos(x) + b \sin(x) \end{equation}

Ahora usted puede poner esto en la integral y obtendrá los valores apropiados de $a,b$

Answer 2

Expandir $\cos(x-y)$ $\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$ para mostrar que $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$ con $$ un = \lambda\int_0^ {\pi/2} \cos (y) f (y) dy, \qquad b = \lambda\int_0^ {\pi/2} \sin (y) f (y) dy. $$ desde $ \int_0^{\pi/2}\cos^2 (y) dy = \int_0^ {\pi/2} \sin^2 (y) dy = \frac {\pi} 4, \qquad \int_0^{\pi/2}\cos (y) f (y) dy = \frac12, $$ esto rinde $$ 4a=\lambda(a\pi+2b) , \qquad 4b = \lambda (2a + \pi b). $$ Si $\lambda\pi-4\ne\pm2\lambda$, la única solución es $a=b=0$, por lo tanto, $f=0$. Si $\lambda\pi-4=\pm2\lambda$, entonces el $\lambda\ne0$ por lo tanto cada $a=\mp b$ es una solución. $\lambda=4/(\pi\pm2)$, $f(x)=a(\cos x\pm\sin x)$, O, equivalente, $f(x)=c\cos(x\mp\pi/4)$.

Answer 3

Usted puede tratar de expandir $f(x)$ como una serie de Fourier, y luego comparar el resultado, término por término. Entonces verá que la de todos los órdenes superiores $(n > 1)$ debe ser cero, ya que la integral sólo los rendimientos de los términos de la orden de $1$.

Así, ahora sabemos que $f(x)$ debe ser de la forma: $$f(x) = a \sin(x) + b \cos(x)$$ Y la inserción esto conduce a las siguientes ecuaciones para $a,b$: $$ a = \lambda\left(\frac{\pi}{4} + \frac{b}{2}\right)\\ b = \lambda\left(\frac{\pi b}{4} + \frac{a}{2}\right)$$ A menos $\lambda$ es uno de los dos valores, $a,b$ debe ser cero, por lo que para casi todos los valores de lambda, la única función de satisfacer su ecuación es $f(x) = 0$.