Demostrando que $\frac{\csc\theta}{\cot\theta}-\frac{\cot\theta}{\csc\theta}=\tan\theta\sin\theta$

Question

Prueba $\dfrac{\csc\theta}{\cot\theta}-\dfrac{\cot\theta}{\csc\theta}=\tan\theta\sin\theta$

Por lo tanto, LS= $$\dfrac{\csc\theta}{\cot\theta}-\dfrac{\cot\theta}{\csc\theta}$$ $$\left(\dfrac{1}{\sin\theta}\cdot \dfrac{\tan\theta}{1}\right)-\left(\dfrac{1}{\tan\theta}\cdot \dfrac{\sin\theta}{1}\right)$$ $$\dfrac{\tan\theta}{\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{\tan\theta}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta que debo tener un denominador común para restar, ¿sería esto correcto?
$$\dfrac{\tan^2\theta}{\tan\theta\sin\theta}-\dfrac{\sin^2\theta}{\tan\theta\sin\theta}\Rightarrow \dfrac{\tan^2\theta-\sin^2\theta}{\tan\theta\sin\theta}$$ Me parece que estoy cerca de la respuesta porque el denominador es la RS del PO. Por favor, ayuda. No lo hagas dame la respuesta.

Answer 1

$$\frac{\tan\theta}{\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{\tan\theta}=\frac1{\cos\theta}-\cos\theta=\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}=\dots$$

Answer 2

La respuesta de Brian es corta, dulce y correcta. Pero puede que te preguntes si puedes terminarla desde donde la dejaste. Puedes hacerlo.

1. $\dfrac{\tan^2 \theta - \sin ^2 \theta}{\sin \theta \tan \theta}$
2. Expandir todo en $\sin$ y $\cos$ y simplificar en una fracción. En el camino, obtenemos $\dfrac{(\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta)\cos \theta}{\cos^2 \theta\sin^2 \theta} = \dfrac{\sin^2 \theta \cos \theta(1 - \cos^2 \theta)}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \dfrac{(1 - \cos^2 \theta)}{\cos \theta}$
3. Recuerda que $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ y usar esto para terminar con el mismo resultado de la respuesta de Brian: $\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$ .
4. Acaba con él a partir de ahí.

Answer 3

O bien, podrías:

$$ \dfrac{\csc\theta}{\cot\theta}-\dfrac{\cot\theta}{\csc\theta} = \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos\theta} - \frac{\cos\theta\sin\theta}{\sin\theta}. $$ Entonces cancela los términos. Luego el denominador común. Entonces...

Answer 4

Es una gran idea utilizar las identidades recíprocas, aquí. También suele ser una buena idea utilizar la identidad de cociente $\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ . De este modo, lo tenemos todo en senos y cosenos.

Answer 5

A veces es mucho más fácil comprobar una identidad transformándola en una secuencia de equivalentes que convertir un lado en el otro. La identidad dada $$\begin{equation*} \frac{\csc \theta }{\cot \theta }-\frac{\cot \theta }{\csc \theta }=\tan \theta \sin \theta \tag{A} \end{equation*}$$

es equivalente a ésta reduciendo el LHS a un denominador común y utilizando las relaciones $\tan \theta=1/\cot \theta$ , $\sin \theta=1/\csc \theta$ en el lado derecho $$\begin{eqnarray*} \frac{\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta }{\cot \theta \csc \theta } =\frac{1 }{\cot \theta \csc \theta } \Leftrightarrow \csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1. \tag{B} \end{eqnarray*}$$

Como la segunda identidad es equivalente a la identidad pitagórica $$\begin{eqnarray*} \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \Leftrightarrow 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \tag{C} \end{eqnarray*}$$

identidad $(\text{A})$ se mantiene.