Clasificación de las funciones de la forma $f(x+y)=f(x)f(y)$

Question

Posibles Duplicados:
Hay un nombre para este tipo de función?

La pregunta es: ¿hay una buena caracterización de todos no negativos funciones de $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x+y)=f(x)f(y)$.

Si $f$ es continuamente diferenciable, entonces yo puedo demostrar que $f$ es exponencial, pero yo no conozco a este en general. Para lo que vale, en mi caso particular, puedo asumir que $f$ es de la derecha continua, es decir,$\lim _{x\to c^+}f(x)=f(c)$, pero eso es todo. A partir de esto, ¿qué puedo deducir acerca de la forma de $f$?

Gracias!

Answer 1

Dada cualquier función de $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $g(x+y)=g(x)+g(y)$, se puede obtener una función de el tipo que desea componiendo con una función exponencial, $z\mapsto e^{az}$, ya que el $f(x) = e^{ag(x)}$ satisface $$f(x+y) = e^{ag(x+y)} = e^{ag(x)+ag(y)} = e^{ag(x)}e^{ag(y)} = f(x)f(y).$$

Por el contrario, cualquier función de $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x+y) = f(x)f(y)$ debe ser no negativo, ya que $f(x) = f(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x) = \left(f(\frac{1}{2}x)\right)^2$. Si $f(x)=0$ algunos $x$, $f(y) = 0$ todos los $y$, ya que el $f(y) = f(x+(y-x)) = f(x)f(y-x) = 0$. Así que una solución es $f(x)=0$ todos los $x$. Si $f(x)\gt 0$ todos los $x$, para luego componer $f(x)$, con una función logaritmo le da una función de $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $g(x+y) = g(x)+g(y)$.

Así que tu pregunta se reduce a la determinación de las funciones $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que son aditivos. Tales funciones satisfacen $g(q) = g(1)q$ todos los $q\in\mathbb{Q}$. Bajo condiciones suaves, se puede concluir que la función es de la forma $g(x) = ax$ $a=g(1)$ todos los $x\in\mathbb{R}$, pero si usted asumir el axioma de elección, hay funciones que no son de esta forma: escoja cualquier base de Hamel $\beta$ $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, y la revisión $\alpha\in\beta$, $\alpha\notin\mathbb{Q}$. Definir $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mediante la asignación de $\alpha$ $1$y todos los demás base de los elementos de a $0$, y extender $\mathbb{Q}$linealmente. Este mapa es aditivo, pero no de la forma $g(x)=g(1)x$.

(Cualquier aditivo mapa de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$debe $\mathbb{Q}$-lineal, por supuesto).

Answer 2

Si $f(c) = 0$ $c$, entonces el $f$ es idénticamente cero.

Asumir así $f(x) \gt 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$.

Que $g(x) = \log f(x)$ y considerar la Ecuación funcional de Cauchy.

Answer 3

Considerar $\log f$ y ver la ecuación funcional de Cauchy.