Es la teoría de la doble números lo suficientemente fuerte como para desarrollar análisis real, y lo hace parecerse a los de Newton método histórico para hacer el cálculo?

Question

He estado interesado en la no-estándar de análisis recientemente. Yo estaba leyendo en cuenta el siguiente comentario interesante en la página de la Wikipedia sobre hyperreal números, inmediatamente después de dar un ejemplo de un no estándar de la diferenciación:

El uso de la norma parte en la definición de la derivada es una rigurosa alternativa a la tradicional práctica de descuidar el cuadrado de una cantidad infinitesimal... el típico método de Newton a través del siglo 19 habría sido simplemente para descartar la $dx^2$ plazo.

Nunca he oído nada como esto antes, y realmente me parece fascinante que el método de Newton fue definir la relación $dx^2 = 0$. Si realmente nos formalizar la estructura anterior tomando $\mathbb{R}$ y adyacentes de un elemento $dx^2 = 0$ a, obtenemos el doble de los números," isomorfo al cociente del anillo de $\mathbb{R}[x]/x^2$. Yo había visto algunas cosas acerca de cómo esta álgebra juega en el automatizada de la diferenciación de los algoritmos para algunos sistemas de software, pero nunca he oído nada acerca de Newton que trabajan directamente en esta álgebra. Así que tengo un par de preguntas:

1. ¿Alguien tiene más información histórica sobre la forma en que Newton realizó la diferenciación, y su relación con el doble de los números?
2. ¿Alguien sabe cómo efectivamente real análisis puede ser formalizada con el doble de los números? ¿El resultado de este sistema de juego bastante agradable para el desarrollo de todas las modernas resultados?
3. Si empezamos con $\mathbb{C}[x]/x^2$ en lugar de eso, podemos igualmente desarrollar análisis complejo?

Desde esta idea es tan simple, estoy muy curioso lo poderoso que es. También tengo curiosidad por si alguno tiene mayores inconvenientes demasiado, ya que no estoy seguro de por qué alguien querría meterse con la base de equipaje en la definición de la hyperreals si este simple 2-dimensional real álgebra realmente podría hacer el truco.

Answer 1

La mayor atracción de la espalda (y es un grande) es que el anillo de dos números, no es un campo. Tiene un montón de divisores de cero. Así, Newton, o de cualquiera de los matemáticos de los primeros días de cálculo, por cierto no trabajo directamente en el ring de dos números. Ellos, por supuesto, no considerar el anillo de existir (como anillos no existe todavía), pero a partir de su escritura es claro que contempla un campo de los números reales, de alguna manera, algunas nociones de infinitesimals. Su trabajo es, por supuesto, muy vaga, pero correcto. Mucho más en las que se pueden encontrar en matemáticas libros de historia. Muchas discusiones interesantes se pueden encontrar en el reciente libro "Aventuras en el Formalismo", también en relación con los primeros días de cálculo y cómo las cosas se desarrollaron.

Algunos (más bien insatisfactorio) porciones de análisis puede ser desarrollado en el ring de dos números, pero no ir demasiado lejos. La idea, como dices, es muy simple, tal vez demasiado simple. Inmediatamente uno se mete en problemas al intentar definir la derivada como cociente de los infinitesimales $f(x+h)-f(x)$ dividido por $h$ donde $h$ es infinitesimal. La dificultad es que el no-cero infinitesimals en el ring de dos números no es invertible. Así, es el fin de la fiesta. (Como usted dice, aunque, algunos aspectos de la parte permanecen con detección automática de la diferenciación). En cierto sentido, el doble de los números de formar un primer orden de aproximación a la real infinitesimals: El cuadrado de un infinitesimal es de un orden de magnitud más pequeño que el infinitesimal con el que comenzó, pero en el ring de dos números, el cuadrado de un 'infinitesimal' es, precisamente,$0$. Así, en un modelo no estándar de los reales que tienen capas enteras de infinitesimals. En los dos números no es sólo una capa, nada en ella es invertible, y todos ellos en la plaza de a $0$.

El libro de los Modelos para el buen infinitesimal análisis explora muchos modelos diferentes para el análisis con infinitesimals. Ninguno de ellos es particularmente simple.

Answer 2

No por 1. y 3., este anillo no es muy útil en el análisis. Pero es muy importante para el análisis de las consideraciones en la geometría algebraica, la razón principal es que el esquema de $\mathrm{Spec}(k[\varepsilon]/\varepsilon^2)$ clasifica los vectores de tangentes. Esto hace que sea posible para definir el espacio de la tangente de arbitrario functors $F : \mathsf{CRing} \to \mathsf{Set}$ algunos $x \in F(k)$, es decir, como la fibra de $F(k[\varepsilon]/\varepsilon^2) \to F(k)$$x$. No hay colector que representa los vectores de tangentes para los colectores, por lo que esta es la principal diferencia.

Answer 3

Creo que nadie ha mencionado Sintético de la geometría diferencial, no tiene un valor distinto de cero cantidades con $dx^2=0$. Para una lectura muy amena introducción sugiero:

Bell, Un manual de Análisis infinitesimal

Answer 4

Las respuestas por Ittay Weiss y Martin Brandeburgo son útiles. Me gustaría señalar de una manera más directa shorcoming de los dos números tan lejos como el análisis (e incluso de cálculo) es que no está claro cómo extender un genérico de función real para el doble de los números, incluso decir $C^\infty$ función suave. Por lo tanto, si uno quiere formar una relación de infinitesimals participan en la definición de la derivada, no está claro lo que debe aparecer en el numerador. Sobre el hyperreals, uno tiene una forma sistemática de la extensión de cada función real para el conjunto de la hyperreal de dominio, y la transferencia de principio (que es sin duda la formalización de la Leibniziana de la Ley de Continuidad) asegura que esa ampliación es significativo.

Por esta razón, la respuesta a la pregunta inicial sería: No, dual números son insuficientes para la captura de "el Newton del método histórico para hacer el cálculo". El hyperreals proporcionar un marco en el que los procedimientos de siglo 17 cálculo infinitesimal puede ser correctamente formalizada.

Answer 5

En los dos números para cualquier función derivable tiene $ f(x+\epsilon) = f(x) + \epsilon f^\prime (x)$. Esto es suficiente para manejar de cómputo 1 de derivados. Por supuesto que no es suficiente para que la convencional de la definición de la derivada segunda. Así se puede considerar que las duales como un modelo computacional. Por supuesto, una de las desventajas es que el puramente imaginaria de los números no es invertible.