Muestran que

Question

muestran que

$ $$\int_{0}^{\infty } \frac {\cos (ax) -\cos (bx)} {x^2}dx=\pi \frac {b-a} {2}$$ for $a,b\geq 0

Como resuelvo usando integrales de contorno, también me gustaría ver diferentes soluciones mediante las diferentes formas de resolverlo.

Answer 1

$$\begin{aligned}\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\,dx &=\int_0^{\infty}\int_a^{b}\frac{\sin tx}{x}\,dt\,dx \\&=\int_a^{b}\int_0^{\infty}\frac{\sin tx}{x}\,dx\,dt\\&=\int_a^b \frac{\pi}{2}\,dt\\&=\frac{(b-a)\pi}{2}\end{aligned} $$

Answer 2

Método 1

Integrar de una vez por partes para obtener $$\int_0^{\infty}\frac{b\sin bx-a\sin ax}{x}dx$$ y, a continuación, utilizar integral de Dirichlet $\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$.

Método 2 (contorno de integración):

El uso de la paridad, escribir la integral como $\displaystyle\frac12\int_{-\infty}^{\infty}$ y, a continuación, deforman el contorno a ser la línea de $C$, ligeramente por debajo del eje real. El próximo express cosenos en términos exponenciales. A continuación, obtenemos $$I=\frac14\left(\int_C \frac{e^{iax}dx}{x^2}+\int_C \frac{e^{-iax}dx}{x^2}-\int_C \frac{e^{ibx}dx}{x^2}-\int_C \frac{e^{-ibx}dx}{x^2}\right)$$

Para $a,b>0$, en el de las integrales que contienen $e^{-iax}$, $e^{-ibx}$, el contorno puede ser cerrado en la mitad inferior del plano (por Jordania lema) y por lo tanto estas integrales se desvanecen (ya que no hay singularidades en el interior).

Las integrales que contienen $e^{iax}$, $e^{ibx}$ sólo puede ser cerrado en la mitad superior del plano y por lo tanto son dadas por los residuos en $x=0$: $$I=\frac{\pi i}{2}\left(\mathrm{res}_{x=0}\frac{e^{iax}}{x^2}-\mathrm{res}_{x=0}\frac{e^{ibx}}{x^2}\right) =\frac{\pi i}{2}\left(ia-ib\right)=\frac{\pi(b-a)}{2}.$$

Answer 3

Dividir en dos partes y luego usar integración por partes para obtener un Seno Integraly tenga en cuenta que $\cos(ax)/x$ tiende a $0$ $x\to \infty$, para que queden con $\rm{Si}(x)$ que tiende a $\pi/2$.