¿Existe una función que cuente el número de formas en que un número par puede expresarse como suma de dos primos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ver El cometa de Goldbach en Wikipedia.
EDIT: Para ampliar un poco esto, dejemos que $g(n)$ sea el número de formas de expresar el número par $n$ como una suma de dos primos. Wikipedia da un argumento heurístico para $g(n)$ para ser aproximadamente $2n/(\log n)^2$ para grandes $n$ . A continuación, señala un fallo en la heurística y explica cómo Hardy y Littlewood repararon el fallo para llegar a una conjetura mejor. La conjetura mejor afirma que, para grandes $n$ , $g(n)$ es aproximadamente $cn/(\log n)^2$ , donde $c>0$ depende de los primos que dividen $n$ . En todos los casos, $c>1.32$ .
Insisto en que todo esto es una conjetura, ya que nadie ha podido demostrar siquiera que $g(n)>0$ para todos incluso $n\ge4$ .
Evan Trimboli
Puntos
15857
Sí, existe tal función y se ha estudiado durante al menos un siglo. Véase Sloane's A002375 . Pero no tiene una letra establecida especificada para ello. Aquí utilizaré $g$ . Así, por ejemplo, $g(36) = 4$ , $g(38) = 2$ . (Si busca en Sloane, asegúrese de dividir por 2 antes de buscar). También hay una función que requiere que los primos sean distintos, así que $31 + 7 = 38$ cuenta pero $19 + 19$ no lo hace; eso también se ha estudiado durante al menos un siglo.
Ahora, ¿hay una fórmula en la que se pueda introducir un número par $2n$ y que te dé una respuesta sin conocer los primos hasta $n$ ? Creo que si se demuestra la hipótesis de Riemann, se podría llegar a esa fórmula. Como estimación rápida y sucia, sugiero $g(2n) \approx \frac{n}{8}$ Su kilometraje puede variar.
EDITAR: Gerry Myerson señaló acertadamente que $g(2n) < \pi(n)$ y que mi estimación rápida y sucia es bastante inadecuada para números grandes. A partir de su comentario, reviso mi estimación rápida y sucia a $g(2n) \approx \frac{n}{4 \log n}$ . El punto al que quería llegar es que el postulado de Bertrand nos dice que siempre hay al menos un primo entre $n$ y $2n$ y me parece poco probable que todos y cada uno de los primos de ese intervalo no coincidan con un primo entre 1 y $n$ .
François Huppé
Puntos
13
Definamos g(n) como el número de descomposiciones de $2n$ en sumas ordenadas de dos primos Impares ( A002372 )
La siguiente suma da el valor exacto de g(n): $$g(n) = \sum_{i=2}^{\pi(2n)} \pi(2n-p(i))-\pi(2n-1-p(i))$$
donde $p(n)$ es el enésimo primo y $\pi(n)$ es la función de recuento de primos.
Ahora bien, si lo que buscas es algo que funcione sin conocer los primos hasta $n$ podemos obtener una buena estimación a partir de la suma anterior. Consideremos la suma de todos los $g(i)$ de $i=3\to n$ : $$ \sum_{i=3}^{n} g(i)$$ De la primera suma, podemos obtener: $$\sum_{i=3}^{n} g(i) = 1+\sum_{i=3}^{\pi(2n)} \pi(2n-p(i))$$ Si sustituimos $\pi(n)$ con $\frac{n}{ln(n)}$ y $p(n)$ con $nln(n)$ sabemos por el teorema de los números primos que cuanto mayor sea el intervalo $n-3$ más precisa es nuestra estimación: $$\sum_{i=3}^{n} g(i) \approx 1+\sum_{i=3}^{\frac{2n}{ln(2n)}} \frac{2n-iln(i)}{ln(2n-iln(i))}$$ Desde entonces: $$ g(n) = \sum_{i=3}^{n} g(i) - \sum_{i=3}^{n-1} g(i)$$ $$ g(n) \approx (1+\sum_{i=3}^{\frac{2n}{ln(2n)}} \frac{2n-iln(i)}{ln(2n-iln(i))})-(1+\sum_{i=3}^{\frac{2(n-1)}{ln(2(n-1))}} \frac{2(n-1)-iln(i)}{ln(2(n-1)-iln(i))})$$ $$ g(n) \approx \sum_{i=3}^{\frac{2n}{ln(2n)}} \frac{2n-iln(i)}{ln(2n-iln(i))}-\sum_{i=3}^{\frac{2n-2}{ln(2n-2)}} \frac{2n-2-iln(i)}{ln(2n-2-iln(i))}$$
El resultado es bastante sorprendente, aunque no muy práctico. El valor de la estimación parece comportarse como el real g(n), sólo que de forma más regular:
