Differentiability sólo en puntos aislados

Question

¿Existen funciones, que son diferenciables en un punto, pero no en un barrio de este punto?

¿Es $e^{\frac{1}{W(x)-2}}$, donde W es la función de Weierstrass, tal vez un ejemplo de tal función?

Answer 1

La función $$f(x)=\chi_{\Bbb Q}(x)\cdot x^2$$ is differentiable (and continuous) only at $x = 0$.

Answer 2

Si multiplicamos a la función de Weierstrass en $x^2$, obtenemos una función que es continua y diferenciable en $0$ pero en ninguna otra parte.