¿Probando que esta distancia es una métrica?

Question

$ \forall x,y \in \mathbb R$ si la distancia $d(x,y) = \sqrt { |(x - y)|}$ ,

¿Cómo puedo probar que esta distancia es métrica? Estoy atascado en la igualdad triangular.

es decir. $ \sqrt { |x - y| } \leq \sqrt { | x - z|} + \sqrt {|z - y|} $

Llegué a la relación

$ \sqrt x + \sqrt y \geq \sqrt {x+y} $

Pero cómo la otra variable $z$ entra en escena sigue siendo una pregunta para mí. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, observe que $|x-y|$ es la distancia euclidiana habitual entre dos puntos $x,y \in\mathbb {R}$ . Luego $ \lvert x-y \rvert\le \lvert x-z \rvert + \lvert z-y \rvert $ que es la desigualdad del triángulo estándar. Usando esto, $$ \sqrt { \lvert x-y \rvert } \le \sqrt { \lvert x-z \rvert + \lvert z-y \rvert } \le \sqrt { \lvert x-z \rvert }+ \sqrt { \lvert z-y \rvert }$$ por la relación que usted declaró. Esta es la desigualdad del triángulo que deseas.

Answer 2

En general se puede probar que si $(X,d)$ es un espacio métrico, y $f: \mathbb R_{>0} \to\mathbb R_{>0}$ satisface las condiciones

• $f(x)=0$ si y sólo si $x=0$ .
• $f$ es (débilmente) cóncavo.

entonces $f \circ d$ es una métrica.

La desigualdad del triángulo se deriva de la desigualdad del triángulo para $d$ porque $f(p)+f(q) \geq f(p+q)$ .

En tu caso, toma $f(x)= \sqrt x$ .

Answer 3

Al cuadrar tenemos $$ \sqrt {|x-y|} \leq \sqrt {|x-z|}+ \sqrt {|z-x|} \iff $$ $$ |x-y| \leq |x-z|+|z-y|+2 \sqrt {|x-z|} \sqrt {|z-y|}$$ que es inmediato de $|x-y|=|(x-z)+(z-y)| \leq |x-z|+|z-x|.$