La paradoja de Russell de Cantor

Question

He aprendido de la paradoja de Russell puede ser derivada a partir del teorema de Cantor aquí, pero también a partir de la S C Kleene la Introducción de Metamathematics, página 38.

En su libro, Kleene dice que si $M$ es el conjunto de todos los conjuntos, a continuación,$\mathcal P(M)=M$, pero dado que esto implica $\mathcal P(M)$ tiene la misma cardinalidad como $M$, de modo que existe un subconjunto $T$ $M$ que no es elemento de poder establecer $\mathcal P(M)$. Esta $T$ se desea establecer para la paradoja de Russell, es decir, es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

No puedo entender cómo $T$ se desea establecer para la paradoja de Russell. También, cómo es Kleene del argumento similar a la quora respuesta?

Answer 1

El teorema de Cantor muestra que para cualquier conjunto$X$ y cualquier función$f:X\to \mathcal{P}(X)$, hay algún subconjunto$T\subseteq X$ que no está en la imagen de$f$. Específicamente,$T=\{x\in X:x\not\in f(x)\}$. Kleene está diciendo que si aplica este teorema a la función de identidad$f:M\to\mathcal{P}(M)$, el contraejemplo$T$ que obtiene es exactamente el conjunto de Russell. De hecho, esto es inmediato a partir de la definición de$T$ dada anteriormente. La respuesta de Quora es simplemente realizar la prueba diagonal de que$T$ no está en la imagen de$f$ en este ejemplo en particular.