Considerar la deriva ecuación de difusión
$$\dfrac{\partial}{\partial t}\psi=\mu\dfrac{\partial}{\partial x}\psi+\kappa^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi.$$
El análisis Dimensional nos dice que $\mu$ es una longitud característica por tiempo (velocidad de arrastre), mientras que $\kappa$ es una longitud característica por la raíz cuadrada del tiempo. Esta pequeña leyenda ha curiosas consecuencias.
En física estadística, $\kappa^2=2D$ es el coeficiente de difusión. Lo que sigue se aplica también a los no relativista de la mecánica cuántica, excepto el coeficiente de difusión es imaginario, $\kappa^2=\frac{i\hbar}{2m}$.
Dado el valor de $x(t)$ de una curva/proceso estocástico en tiempo $t$, para cualquier intervalo de tiempo $\Delta t > 0$, se puede probar para $x(t+\Delta t)$ y el incremento en el $\Delta x\equiv x(t+\Delta t)-x(t)$ es probabilístico y dependientes en $\Delta t$ (y posiblemente en $t$ o en $x(t)$).
Por ejemplo, en el caso de un movimiento Browniano cada nueva $\Delta x$ toma valores de acuerdo a la distribución
$P(\Delta x)=\dfrac{1}{\kappa\sqrt{\Delta t}\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\dfrac{1}{2}\dfrac{(\Delta x)^2}{\kappa^2\,\Delta t} \right)$.
(Me puse a $\mu=0$ y nota que usualmente se utiliza una variable $\sigma=\kappa\sqrt{\Delta t}$)
La curva de Gauss de distribución para $\Delta x$ dice que, incluso para los muy pequeños,$\Delta t$, hay un no-desaparición de cambio que $x(t+\Delta t)$ está lejos de $x(t)$. Para mayor $\Delta t$, la distribución se aplana y la oportunidad para la red más grande de la desviación crece.
(Nota al margen:tenga en cuenta que este peso se plantea también en la cuantización de la
$L(q,{\dot q})\propto {\dot q}^2$:
$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\Delta t\approx \int_0^{\Delta t} \left(\frac{{\mathrm d}x}{{\mathrm d}t}\right)^2{\mathrm d}t$.)
Ahora, por encima de $P$, tenemos:
$\langle \Delta x\rangle=0$
$\langle \left|\Delta x\right| \rangle=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,\kappa\,\sqrt{\Delta t}$
$\langle (\Delta x)^2\rangle=\kappa^2\,\Delta t$
Este dice que el movimiento no tiene una dirección preferida, pero para un número finito de tiempo de espera $\Delta t$ e si $x(t)$ es un medio camino, esperamos que $x(t+\Delta t)=x(t)+\kappa\sqrt{\Delta t}$, ver foto. La intuición es que un pequeño tiempo de espera, usted podría posiblemente tener ya una gran desviación y la más larga es la espera cuanto más te alejas del centro - sin embargo, este movimiento es sub-lineal ya que con más tiempo, más y más de cancelación de ocurrir así. No la diferenciabilidad de la curva en el modelo se manifiesta aquí: Aunque sabemos que la desviación global va como $\sqrt{\Delta t}$, que no podemos hacer una buena estimación para el crecimiento instantáneo, porque en $\Delta t=0$ la pendiente de la función de raíz cuadrada $\frac{∂}{∂\Delta t}\sqrt{\Delta t}\propto\frac{1}{\sqrt{\Delta t}}$ no es finito! No es $x'(t)$!
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La acumulación de los valores de una función $F$ a lo largo de un camino liso $x(t)$ es
$\int_{t_0}^{t_1} F(x(s))\, {\mathrm d}x(s)$,
que es
$\int_{t_0}^{t_1} F(x(s))\, x'(s)\, {\mathrm d}s$,
donde
$x'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$.
Estocástico integrales son un medio de informática de la acumulación de una función a lo largo de una ruta de acceso en los casos donde el anterior no está definido. Un Itō proceso es un proceso estocástico $X_t$ que es la suma de un Lebesgue y un Itō integral:
$X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s(X_s, s)\,\mathrm ds + \int_0^t \sigma_s(X_s, s) \,\mathrm dW_s$
Un Itō integral es de aproximadamente una integral de Riemann de variables aleatorias. La norma en la que el límite de sumas parciales converge no es la norma en $\mathbb R$, sino que el resultado se define como una variable aleatoria para la cual la probabilidad de ser diferente que el límite que se va a cero.
Uno escribe
${\mathrm d}X_t = \mu_t(X_s, s) \, {\mathrm d}t + \sigma_t(X_s, s) \, {\mathrm d}W_t$
para la integral anterior. Si $X_t$ no se sabe, esto se llama una ecuación diferencial estocástica en $X_t$.
Ser un Itō es el proceso estocástico analógico de ser diferenciable.
Si $\mu_t$ $B_t$ es independiente del tiempo, hablamos de Itō de difusión. Un movimiento Browniano geométrico se caracteriza a través de $\mu_t(X_s, s)=X_s\,\mu$$\sigma_t(X_s, s)=X_s\,\sigma$, es decir, ambos son "sólo" $\propto X_s$.
El famoso Itō lema es
${\mathrm d}f(t,X_t) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial t} + \dfrac{\sigma_t^2}{2}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}\right){\mathrm d}t + \dfrac{\partial f}{\partial x}\,{\mathrm d}X_t$
La segunda derivada término proviene del estocásticos de difusión, que no es un sabor local.
Como esto realmente es una parte integral de la relación, corresponde a una versión del teorema fundamental del cálculo. Si sabemos cómo integrar en contra de $X_t$, se puede calcular el $f(t,X_t)$, como tal, un integral (además de un ordinario integral).
Tenga en cuenta que para $f(x,t)=\frac{1}{2}x^2$ $\frac{\sigma_t^2}{2}=\kappa^2$ tenemos
${\mathrm d}\left(\frac{m}{2}X_t^2\right) = m\,\kappa^2{\mathrm d}t + X_t\,m\,{\mathrm d}X_t$
La siguiente parte es sobre las relaciones de conmutación $xp$ menos $px$, una versión de la última ecuación que caracteriza a $x$ en el segundo trimestre $px$ como detectar un efecto de difusión. Eso es básicamente parte de lo Maimón escribe en la página de la Wikipedia sobre la ruta integral de la formulación de (quantum) de la mecánica:
Vamos
$p_{\Delta t}(t)=m\frac{x(t+{\Delta t})-x(t)}{{\Delta t}}$
Si el límite
$\lim_{\Delta t\to 0}p_{\Delta t}(t)$ existe, entonces para axilar
$\delta$ ,$\lim_{\Delta t\to}x(t+\delta^2{\Delta t})=x(t)$.
Por lo tanto, por los siglos de tiempo pequeño tamaño de la cuadrícula ${\Delta t}$, por ejemplo, una expresión como
$x(t+\delta_1^2{\Delta t})\,x(t+\delta_2^2{\Delta t})\,x(t+\delta_3^2{\Delta t})$
converge a $x(t)^3$.
Sin embargo, para
$x(t+\Delta t)\approx x(t)+\kappa{\sqrt{\Delta t}}$
con la raíz cuadrada, nos encontramos con
$x(t+\delta^2{\Delta t})\,p_{\Delta t}(t)=\delta^2\,m\,\kappa^2+x(t)\,p_{\Delta t}(t)$.
El resultado dice que dos ingenuamente equivalente aproximación de los programas (por ejemplo, $\delta=0$ vs $\delta=1$) difieren sistemáticamente por un aditivo de difusión plazo (por ejemplo, $m\kappa^2$ aquí). En la mecánica cuántica, que es $m\kappa^2=m\frac{i\hbar}{2m}=\frac{i\hbar}{2}$.
Por lo que hemos tenido
$\frac{\partial}{\partial t} \psi = \kappa^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi$
(tenga en cuenta el desequilibrio de las dimensiones, $t$ vs $x^2$) y a su vez
$P(\Delta x) \propto \exp\left(c\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right)$
como siguiente paso de la distribución y, a continuación,
$\langle |\Delta x|\rangle\propto (\Delta t)^{1/2}$
da la no-curva suave.
Es posible que desee mirar a otro lado-el paso de las distribuciones,
haciendo entrega de las teorías con $\langle |\Delta x|\rangle\propto (\Delta t)^{1/\alpha}$. Podemos ver que el coeficiente de proporcionalidad (el análogo de la $\kappa$ o de la velocidad) debe ser fraccionada y en la vuelta nos espera una fracción diferencial operador $\frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}$ en la correspondiente ecuación de difusión. Usted obtener un Laplaciano a la potencia de $\frac{\alpha}{2}$. El $\alpha\neq 2$deformar la teoría con la compleja $\kappa$ es lo que se llama "fracciones de la mecánica cuántica", aunque no sé de lo que realmente notables resultados, además de una mejor comprensión de los casos conocidos.
Para responder a su pregunta, asociar el poder de los operadores de arriba, a la expectativa de valor de $\langle |\Delta x|\rangle$. El $\alpha$ se caracteriza rápido el parámetro del sistema en el modelo estocástico se mueve lejos del centro. Los llamados Levy-vuelos puedan propagarse en un camino áspero, la corriente/velocidad se convierte en algo más complicado (no proporcional a la inercia, es decir, lo que se multiplica por $x$ en el plano de la solución de onda). La Browniano normal derivados caso es más amigable de difusión. Usted no podría obtener esa intuición de que otra pregunta sobre fracciones de derivados, porque allí el chico de cocina encima de una ecuación con una derivada fraccional de tiempo y estamos acostumbrados a ver todo el espacio, pero sólo una vez (el ahora).
