¿Existe una función continua de$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ a$\mathbb{Q}$?

Question

¿Existe un continuo en función de$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$? (donde el dominio es todos los números irracionales)

He encontrado muchas respuestas para contradecir el hecho de que no existe una función continua que los mapas racionales a irrationals y viceversa.

Pero probando que la cosa era fácil, ya que nuestro dominio de definición de la función fue un conjunto conectado, podríamos utilizar esa conexión o podemos usar el hecho de que los racionales son numerables y irrationals son innumerables.

Pero en este caso esas propiedades no son útiles. De alguna manera yo creo que la categoría de baire teorema puede ser útil, pero no soy bueno en el uso de la misma.

Answer 1

Sí. Diga$E_n$ es el conjunto de irracionales en el intervalo$(n,n+1)$. Diga que$(q_n)$ es una enumeración de$\Bbb Q$. Defina$f(x)=q_n$ para$x\in E_n$.

Answer 2

Sí, existe tal función.

$\mathbb{Q}$ Con$\mathbb{Z}$ para obtener$\mathbb{Q} = \{q_n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, y sea$\mathbb{I}$ el conjunto de números irracionales.

Defina$I_n$ para$n \in \mathbb{Z}$ como$\mathbb{I} \cap (n, n+1)$. A continuación, defina$f(x) = q_n$ para todos los$x \in I_n$.

Esto es continuo, ya que para cualquier número irracional en$I_n$, hay un pequeño barrio de la misma que está contenido completamente dentro de$I_n$ (porque los "puntos finales" de$I_n$ fueron elegidos para ser racional )