Existencia de una serie de potencia que converge de forma no uniforme a una función continua

Question

Me pregunto si existe una función$f(z) = \sum_{n\geq0} a_n z^n$ tal que:

• $f$ Converge y es continua en el disco de unidad cerrado$D$ y
• La serie$\sum_n a_n z^n$ no converge uniformemente en$D$.

He tratado de construir un contraejemplo, pero sin éxito hasta ahora.

Answer 1

Sí. Véase R. D. Lamer el artículo de "grupos de no-convergencia uniforme de Series de Taylor."

Es que allí se muestra que para cada subconjunto cerrado $F$ del límite de $\partial D$, no es una serie que converge en todas partes en el disco cerrado a una función continua, y cuyo conjunto de no-convergencia uniforme es $F$. Esto significa que la serie converge uniformemente en un barrio (arco abierto) de cada punto en $\partial D\setminus F$, pero no en cualquier barrio de cualquier punto en $F$.

He estado interesado en esta pregunta antes, que es por eso que tener una referencia útil. Me refería a este artículo en otra respuesta, a una pregunta sobre el poder de la serie en álgebras de Banach. Como se ha mencionado allí, la secuencia de Cesàro medio de la potencia de serie converge uniformemente en el disco cerrado.