Suma de las entradas de una matriz

Question

Para una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es evidente que la suma de todas las entradas de $A$ puede expresarse como $$\vec{1}^{T} A \vec{1} = \sum \limits_{i,j} A_{i,j}$$

Supongamos $A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ son matrices simétricas. Entonces, por la expresión anterior, está claro que la suma de las entradas del producto $AB$ es la misma que la de $BA$ aunque ambas son distintas como matrices. Así que $$\vec{1}^{T} (AB+BA) \vec{1}=2\vec{1}^{T} AB \vec{1}$$

¿Tenemos alguna expresión semejante para los grados superiores? Es decir, supongamos que formamos la suma de todas las permutaciones posibles de un producto de $n$ repeticiones de $A$ y $m$ repeticiones de $B$ y que $Symm(A^nB^m)$ denota esta suma. Por ejemplo, cuando $n=3$ y $m=2$ la expresión tiene $\binom{5}{2}$ términos siguientes $$Symm(A^3B^2)=A^3B^2 + A^2BAB + A^2B^2A+ABA^2B+ABABA+AB^2A^2+BA^3B+BA^2BA +BABA^2+B^2A^3$$

¿Podemos decir algo útil sobre $$\vec{1}^{T} Symm(A^nB^m) \vec{1}$$ en términos de $A,B$ ?

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Esto surgió mientras trabajaba en un problema mayor, así que he omitido el contexto aquí por ahora. Pido disculpas si la pregunta es un poco vaga y abierta, y la actualizaré rápidamente en función de los comentarios que reciba. Gracias.

Answer 1

Sea $X$ sea la matriz cuadrada cuyo elemento es $1$ . (¿Existe una notación canónica para esto?) Se trata de una matriz simétrica. $\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$

La suma de elementos de $A$ es $s(A)=\tr(AX)$ . Para simétrico $A$ y $B$ la suma de los elementos del producto es $$ s(AB)=\tr(ABX)=\tr((ABX)^T)=\tr(X^TB^TA^T)=\tr(XBA)=\tr(BAX)=s(BA). $$ Esto ya lo sabíais, pero sólo quería dar un nuevo punto de vista a este hecho. Del mismo modo, es fácil comprobar que $s(A^T)=s(A)$ para cualquier matriz $A$ .

Dadas las propiedades de conmutatividad de la traza -y lo que es más importante, la falta de ellas- no creo que exista una identidad agradable que te permita tratar bien las permutaciones arbitrarias. Las matrices no conmutan con $X$ en general. Es difícil demostrar la inexistencia de cosas útiles que decir, pero quizá el rastro ayude a aclarar tus ideas.

Por ejemplo, en su ejemplo puede tomar $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ y $B=X$ . Entonces todos los términos con $A^2$ desaparecen, y $Symm(A^3B^2)=ABABA=A$ . Este $A$ no es simétrico; el punto es sólo para enfatizar que el orden de las matrices puede tener grandes efectos (también en la traza: típicamente $\tr(ABC)\neq\tr(BAC)$ ), y esto es cierto con o sin simetría. En general, el orden de las matrices tendrá un efecto significativo en la suma de elementos del producto, pero es difícil decir más que eso. Si tienes una pregunta más específica, puedo intentar pensar en una respuesta concreta.