$a+b\sqrt{-3}$ $a-b\sqrt{-3}$ son coprimos en $\mathbb{Z}+ \omega \mathbb{Z}$

Question

Quiero demostrar que $a+b\sqrt{-3}$ y $a-b\sqrt{-3}$ son coprimos en $\mathbb{Z}+ \omega \mathbb{Z}$ y $\omega$ $\gcd(a,b)=1$ una tercera raíz primitiva de la unidad.

Enfoque: Supongamos que no, sea un factor irreducible de $s$ y $a+b\sqrt{-3}$$a-b\sqrt{-3}$ y $s|2b\sqrt{-3}$. $N(s)|6b^2$ Y $N(s)|(a^2+3b^2)$...

¿Alguien me puede ayudar cómo abordar una contradicción de esto? Gracias de antemano!!

Answer 1

En realidad, no hay ninguna contradicción.

Si $a,b$ son relativamente privilegiada, la afirmación es falsa.

Por ejemplo, que

$$y = 1 + \sqrt{-3}$$

$$z = 1 - \sqrt{-3}$$

Entonces $y,z$ no-unidades, pero cada uno divide la otra, por lo tanto, tienen un factor común de la no unidad.

Answer 2

Muchas cosas que aclarar aquí. ¿Qué $a$ y $b$? ¿Son enteros, que es $a, b \in \mathbb Z$? Y ¿está seguro de que busca sólo en los números de la forma $a + b \sqrt{-3}$ y no también números de la forma $a + b \omega$?

Debe ser, dijo explícitamente que $$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}.$$ With that in mind, we can rewrite $1 - \sqrt{-3}$ and $1 + \sqrt{-3}$ as $-2 \omega$ and $2 + \omega$ respectively. We have changed $a$ and $b$, of course, but it should still be clear that $2 \omega$ and $-2 \omega$ have at least one prime factor in common, as do $2 2 - \omega$ and $2 2 + 2 \omega$.

También tenga en cuenta que $N(a + b \omega) = a^2 - ab + b^2$.