¿Es $f(x)=x+\sin(x)$ un uno a uno o muchos a una función?

Question

Si diferenciamos la función, obtenemos $$f'(x)=1+\cos(x)$$ Hence, $f ' (x)$ varies from $0$ to $2$.

Por lo tanto, creo que es una función uno a uno, porque la función no está disminuyendo, y la función nunca consecutivamente constante para más de un punto.

Pero, ¿cómo pruebo que $f(x)$ nunca es estrictamente $0$ en un intervalo?

Answer 1

Asumir $f(a)=f(b)$ $a<b$. Sabemos por el teorema del valor intermedio que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$ $c\in(a,b)$. $f'\ge 0$, Esto sólo nos indica que $f(b)\ge f(a)$. Pero sabemos que $f'$ desaparece en intervalos enteros, en particular, suficientemente pequeño $h$, tendremos $f'(x)\ne 0$ % todo $x\in(a,a+h)$(incluso en el caso de que el $f'(a)=0$). Entonces el argumento de arriba nos da $f(b)- f(a+h)\ge 0$ (como nosotros podemos elegir $h\le b-a$) y $f(a+h)-f(a)=hf'(c)$ $c\in (a,a+h)$, pero esta vez sabemos $f'(c)>0$ y $$f(b)\ge f(a+h)>f(a).

Answer 2

Estoy asumiendo que usted quiso decir:

¿Cómo puedo probar que no hay ningún intervalo de cero medir donde $f'(x) = 0$ en todo el intervalo?

Como usted dice, $f'(x) = 1 + \cos(x)$. La solución más simple es encontrar todos los lugares que $f'(x) = 0$ y muestra que es un conjunto de puntos aislados.

$$1 + \cos(x) = 0 \\ \cos(x) = -1 \\ x \in \{(2z+1)\pi \espacio | espacio \z \in \mathbb{Z} \}$$

Es evidente que ningún subconjunto de este conjunto de soluciones se forma un intervalo (si quieres ser realmente completo, usted puede probarlo por mostrar que cualquiera de los dos elementos distintos son, al menos, $2\pi$ distancia el uno del otro).

Answer 3

Forma directa:

Vamos

$$x+\sin x=y+\sin y$$ with $x\ne y$.

Entonces usando la fórmula de suma a producto el $$x-y+\sin x-\sin y=0,

$$x-y+2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2=0,$$

$$\cos\frac{x+y}2\frac{\sin\dfrac{x-y}2}{\dfrac{x-y}2}=\cos\frac{x+y}2\text{ sinc }\dfrac{x-y}2=-1.$$

La función de la derecha es el seno cardinal, que es menor que $1$ para un argumento distinto de cero, por lo que es imposible llegar a $-1$ y la función es uno a uno.

Answer 4

$f(x)$ es continua, $f'(x)\geq 0$ y nunca es estrictamente igual a cero para cualquier intervalo de tiempo,por Lo que es uno-uno! Sí tienes razón!

Formalmente escribir ahora: Dicen que no es uno a uno para decir $x\neq y$ pero $f(x)=f(y)$.

w.l.o.g asumen $x<y$

Desde $f'(x)$ es cero sólo en puntos discretos, a continuación, hay un intervalo contenido en el intervalo de $(x,y)$ que $f'(x)$ es estrictamente mayor que cero, por lo $f(x)$ estrictamente creciente en este intervalo, también sabemos $f(x)$ nunca disminuye, por lo tanto $f(x)$ es, por supuesto, mayor que $f(y)$$x<y$, por lo tanto, una contradicción.

Answer 5

Sí, tienes razón: desde $f'(x)\geq 0$, que es continua y no permanecer en el $0$ para cualquier intervalo, la función es estrictamente creciente y así inyectiva.

Podemos ver esto por escrito $f(b)-f(a)=\int_a^bf'(x)\mathrm dx$ (donde $b>a$). Si $f'(x)>0$ $[a,b]$ (debido a que la derivada es continua) tiene cierto valor mínimo $\delta>0$ en ese intervalo, y usted consigue $f(b)-f(a)>\delta(b-a)>0$.

Si $f'(x)=0$ a un lugar en ese intervalo, acaba de elegir cualquier $c,d$ $a<c<d<b$ tal que $f'(x)>0$$[c,d]$. La división en tres integrales consigue $f(a)\leq f(c)<f(d)\leq f(b)$, lo $f(a)<f(b)$.