Deje $A$ ser un anillo conmutativo y $M_i, i \in I$ ser una familia infinita de $A$-módulos. Definir su producto tensor $\bigotimes_{i \in I} M_i$ a ser una representación de objeto de la functor de multilineal los mapas definidos en $\prod_{i \in I} M_i$ (esto existe por la costumbre de la construcción). Por lo tanto no es un universal multilineal mapa de $\otimes : \prod_{i \in I} M_i \to \bigotimes_{i \in I} M_i$. Hace algunos años, yo quería examinar este infinito producto tensor, pero en la literatura no pude encontrar nada de ir más allá de algunas natural isomorphisms (por ejemplo, la asociatividad) o el submódulo que consta de los tensores que se convierten finalmente constante de un elemento específico de $\prod_{i \in I} M_i$ lo que produce un colimit de finito de tensor de productos (denotado $U_x$ por debajo). En general, parece que es bastante difícil de describir,$\bigotimes_{i \in I} M_i$. Por ejemplo, para un campo $K$, $K \otimes_K \otimes_K ...$ tiene dimensión $|K^\*|^{\aleph_0}$ (ver más abajo) y no se puede escribir en una base, que puede ser aterrador cuando lo ves la primera vez. El punto es que multilineal de las relaciones no pueden ser aplicados infinidad de veces a la vez: Por ejemplo, en $K \otimes_K \otimes_K ...$, $x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ...$ si y sólo si $x_i = y_i$ en casi todas las $i$ y para el resto tenemos $\prod_i x_i = \prod_i y_i$.
Antes de plantear mi pregunta, puedo proporcionar algunos resultados.
1.1. Suponga que $M_i$ son torsionfree $A$-módulos (significado $am=0 \Rightarrow a=0 \vee m=0$). En este caso, podemos descomponer $\bigotimes_{i \in I} M_i$ como sigue: Definir $X = \prod_{i \in I} M_i \setminus \{0\}$ y deje $x \sim y \Leftrightarrow \{i : x_i \neq y_i\}$ finito. A continuación, $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$. Deje $R$ ser un conjunto de representantes (esto hace que esta descripción feo!). Luego hay un canónica mapa
$H : \text{Mult}(\prod_{i \in I} M_i,-) \to \prod_{x \in R} \lim_{E \subseteq I \text{~finite}} \text{Mult}^x(\prod_{i \in E} M_i,-)$,
donde $\text{Mult}^x$ indica que la transición de mapas de todo el límite está dado por la inserción de las entradas de $x$, y no es difícil mostrar que $H$ es bijective. Así
$\bigotimes_{i \in I} M_i = \bigoplus_{x \in R} U_x$,
donde $U_x = \cup_{E \subseteq I \text{~finite}} \bigotimes_{i \in E} M_i \otimes \otimes_{i \notin E} x_i$ es el colimit de lo finito tensor de productos de $\otimes_{i \in E} M_i$ (los mapas de transición dada por tensoring con entradas de $x$). La canónica mapas de $\otimes_{i \in E} M_i \to U_x$ no tiene que ser inyectiva; al menos cuando se $A$ es un PID, este es el caso. La observación de que $U_x$ sólo depende de la clase de equivalencia de a $x$, por lo que la descomposición en el $U_x$ es canónica, mientras que la representación de $U_x$ directos límite (incluyendo los mapas de transición!) depende realmente de $x$.
1.2 Si $M_i = A$ es una parte integral de dominio, obtenemos $\bigotimes_{i \in I} A = \oplus_{x \in R} U_x$ donde $U_x$ es el límite de copias $A_E$$A$, para cada subconjunto finito $E \subseteq I$, y mapas de transición $\prod_{i \in E' \setminus E} x_i : A_E \to A_{E'}$ $E \subseteq E'$. $U_x$ es sólo la localización de $A$ a $x_i$.
1.3 Si $A$ es un campo, y $M_i$ base $B_i$, $B_x = \cup_{E \subseteq I} \bigotimes_{i \in E} B_i \otimes \otimes_{i \notin E} x_i$ es una base de $U_x$ e lo $\cup_{x \in R} B_x$ es una base de $\bigotimes_{i \in I} M_i$. De acuerdo a esta pregunta, este tiene cardinalidad $\max(|X|,|I|,\max_i(\dim(M_i)))$.
1.4 Si $A_i$ $A$- álgebras, a continuación, $\bigotimes_{i \in I} A_i$ $A$- álgebra. Si el $A_i$ son parte integral de los dominios, es un álgebra graduada por la monoid $X/\sim$ con componentes de $U_x$.
Si $A=A_i=K$ es un campo con $U=K^x$, entonces no es un espacio vectorial isomorfismo entre el $\bigotimes_{i \in I} K$ y el grupo de álgebra $K[U^I / U^{(I)}]$. Suficiente, no es necesario, condición para la existencia de una $K$-álgebra isomorfismo es que $U^{(I)}$ es un sumando directo de $U^I$, lo cual es bastante raro (véase esta cuestión). Sin embargo, podemos preguntarnos si estos $K$-álgebras de isomorfo. En cierto sentido, he probado esto ya a nivel local (subalgebras dada por finitely generado subgrupos del grupo $U^I / U^{(I)}$ son isomorfos, en una terrible uncanonical manera). Muchas preguntas actualmente estoy planteando aquí están dirigidas a este problema.
2.1 ¿Qué acerca de la alternancia de producto tensor con duales? Deje $(V_i)_{i \in I}$ ser una familia de espacios vectoriales sobre un campo $K$. Para los elementos $\lambda_i \in K$, definir su infinita producto $\prod_{i \in I} \lambda_i$ a ser el habitual del producto si $\lambda_i=1$ en casi todas las $i$, y de lo contrario a ser $0$. Esto produce un multilineal mapa de $\prod : K^I \to K$ y por lo tanto lineal mapa $\delta : \bigotimes_{i \in I} V_i^* \to (\bigotimes_{i \in I} V_i)^*, \otimes_i f_i \mapsto (\otimes_i x_i \mapsto \prod_{i \in I} f_i(x_i)).$ Entonces se puede demostrar que $\delta$ es inyectiva, pero la prueba es bastante engorroso.
2.2 Deje $W_i$ ser de otra familia de espacios vectoriales sobre un campo $K$. Luego hay un canónica mapa $\alpha : \bigotimes_{i \in I} Hom(V_i,W_i) \to Hom(\bigotimes_{i \in I} V_i, \bigotimes_{i \in I} W_i).$ Es $\alpha$ inyectiva? Esto se conoce al $I$ es finito.
3 ¿Qué acerca de otras propiedades de finito de tensor de productos, hacer que generalizar? Por ejemplo supongamos $J_i, i \in I$ ser una familia de conjuntos de índices y $M_{i,j}$ $A$- módulo donde $i \in I, j \in J_i$. Luego hay un canónica homomorphism $\delta : \bigoplus_{k \in \prod_{i \in I} J_i} \bigotimes_{i \in I} M_{i,k(i)} \to \bigotimes_{i \in I} \oplus_{j \in J_i} M_{i,j}$. Se puede demostrar que $\delta$ es inyectiva, pero también es bijective (como en el caso finito)?
4 La descripción del producto tensor dado en 1.1 depende de un conjunto de representantes y no es útil cuando quieres demostrar algo. Hay mejores descripciones?
La observación de que en esta pregunta no estoy interesado en la infinita tensor de productos definidos en el análisis funcional o simplemente colimits de finito. Estoy interesado en el producto tensor definido anteriormente (que probablemente todos matemático que se refiere como "el mal"). Cualquier sugerencias acerca de su estructura o de la literatura acerca de que son apreciados.
