¿Por qué la expresión newtoniana de la energía cinética se llama aproximación de "primer orden" de la expresión relativista?

Question

En muchos textos, la fórmula de energía cinética no relativista (newtoniana) $$\text{KE}_\text{Newton} =\frac{1}{2}mv^2$$ se denomina aproximación de primer orden de la energía cinética relativista $$\text{KE}_\text{relativistic} = \gamma mc^2 - mc^2$$ Lo mismo puede decirse de la fórmula clásica del momento en relación con su homóloga relativista.

Sin embargo, comparando las aproximaciones newtonianas con sus respectivas fórmulas relativistas, la fórmula newtoniana del KE parece ser una aproximación de segundo orden mientras que la fórmula del momento parece ser de primer orden.

Empecemos por el momento. La fórmula relativista del momento es $$ p=\gamma mv=\frac{mv}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} \, . $$ Para velocidades no relativistas ( $v \ll c$ ), utilizamos la serie de Taylor $$ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \approx x\left(1 + \frac{x^2}{2}\right) \, , $$ dando $$p/c \approx mv/c \left[ 1 + \frac{1}{2}\left( \frac{v}{c} \right)^2 \right] \approx m (v/c)$$ que es de primer orden en $v/c$ . En otras palabras, $p\approx mv$ que es la expresión newtoniana habitual.

Por otro lado, la energía cinética relativista es \begin{align} \text{KE}_\text{relativisitic} = \gamma mc^2 - mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c}\right)^2}} - mc^2 \end{align} que para $v \ll c$ es $$ \text{KE}_\text{relativistic} \approx mc^2 \left[ 1 + \frac{1}{2}\left( \frac{v}{c} \right)^2\right] - mc^2 = mc^2 \frac{1}{2} \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} m v^2$$ que obviamente es de segundo orden en $v$ .

Si comparamos los gráficos de las formas newtonianas para la energía cinética y el momento lineal con sus respectivas fórmulas relativistas, parece haber una concordancia más estrecha para la aproximación de la energía cinética que la que se observa para el momento lineal.

Y de ahí mi pregunta: ¿por qué se habla de la fórmula newtoniana de la energía cinética como una aproximación de primer orden cuando parece ser de segundo orden?

Answer 1

Tal y como yo lo veo, hay cuatro respuestas posibles. Puedes elegir la que más te guste, porque al final no importa mucho.

1. Tienes razón, es una aproximación de segundo orden y los que dicen que es de primer orden están cometiendo un error terminológico.

2. Cuando decimos primer orden, realmente queremos decir primer orden no nulo, ya que el término lineal desaparece.

3. En realidad es de primer orden en $v^2$ .

4. Realmente no importa. Todos sabemos lo que es la aproximación no relativista, sus propiedades no van a cambiar si la llamamos con un nombre diferente.

Personalmente apoyo la respuesta 4, y te sugiero que te acostumbres a ella porque la física no es conocida por su rigor y formalidad.

Answer 2

La cuestión de la terminología utilizada para las ampliaciones se ha tratado bastante bien en la respuesta de Javier. Quería abordar otra parte de su pregunta sobre la que expresó su preocupación en un comentario, a saber, su afirmación de que

podemos ver un acuerdo mucho más cercano para la aproximación de la energía cinética que el que se puede ver para el momento lineal.

Pero en realidad, el nivel de acuerdo entre los valores clásicos y los relativistas es peor para la energía cinética que para el impulso a una velocidad determinada $v$ . La única razón por la que la brecha parece mayor para el impulso en su gráfico es que la cantidad en sí es mayor.

Para ver esto, defina $r$ para ser la relación entre el valor relativista de alguna cantidad y su valor clásico. Para el momento, esto sería $$ r_p = \frac{mv \gamma}{mv} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} $$ (utilizando unidades donde $c = 1$ ), mientras que para la energía cinética sería $$ r_\text{KE} = \frac{ m \gamma - m}{\frac{1}{2} mv^2} = 2 \frac{1/\sqrt{1 - v^2} - 1}{v^2}. $$ Trazando ambos, obtenemos el siguiente gráfico:

También podemos introducir números en las expresiones anteriores. Por ejemplo, en $v = \frac{1}{2}$ el momento relativista es $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$ veces mayor que el momento clásico, mientras que el KE relativista es $8(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \approx 1.24$ veces mayor que la KE clásica. La "razón de las razones", que podemos considerar como la medida de la "maldad relativa" de las expresiones clásicas para la energía cinética y el momento, es $$ \frac{r_\text{KE}}{r_p} = 2 \frac{1/\sqrt{1 - v^2} - 1}{v^2/\sqrt{1 - v^2}} = 2 \frac{ 1 - \sqrt{ 1 - v^2}}{v^2}. $$ Esta relación se aproxima a 1 en el límite $v \to 0$ lo que significa que las expresiones clásicas son "igualmente buenas" en este límite; y esta relación se acerca a 2 en el límite $v \to 1$ lo que implica que la expresión clásica de la energía cinética es "el doble" en este límite.