¿Cuál es la ventaja de medir un ángulo en los radianes?

Question

¿Cuál es la ventaja y el uso de la medición de un ángulo es el radián (s) en comparación con el grado (s)? Mi libro cambió repentinamente a radián(es) para medir un ángulo en este grado y no sé por qué.

Answer 1

Mira la siguiente imagen. Es un círculo de radio $r=1$ y hay un ángulo $\alpha$ que recorta un arco $c$ de la circunferencia del círculo.

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

¿Cuánto dura este arco? Bueno, aquí es donde los radianes son inmensamente beneficiosos. Si expresas el ángulo en radianes, entonces la longitud del arco es exactamente $\alpha$ . Si $\alpha=0.123$ entonces la longitud de los arcos es $0.123$ también. Fácil.

Sabes que el ángulo completo en radianes es $2\pi$ . Si elige $\alpha=2\pi$ en la imagen anterior, se describiría un arco $c$ que en realidad es sólo el círculo completo. Y se ve inmediatamente, que su circunferencia (aquí también la longitud del arco) es $2\pi$ también. Esto es exactamente lo que la fórmula de la circunferencia $U(r)=2\pi r$ te daría de todos modos.

Por supuesto, esto también es útil para círculos de radios diferentes a $1$ . Si su círculo tiene un radio $r$ y miras un arco recortado por un ángulo $\alpha$ en radianes, entonces la longitud del arco es $\alpha r$ . Sólo se escala linealmente.

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Este es el aspecto visual. Pero hay más razones (matemáticas). Pregúntate, ¿cuál sería la unidad natural para medir un ángulo? El grado no es muy natural. No hay nada especial en el número $360^°$ pero su alta divisibilidad. Se podría medir un ángulo en el intervalo $[0,1]$ . O puedes utilizar su conexión natural con el círculo que he explicado anteriormente.

Sin embargo, hay muchas funciones matemáticas que toman ángulos como entradas, por ejemplo, $\sin(x),\cos(x)$ etc. Pero, ¿alguna vez te has preguntado cómo calcular realmente $\cos(x)$ ¿sin calculadora? Hay fórmulas que dan muy buenas aproximaciones, por ejemplo

$$\cos(x)\approx 1-\frac12 x^2+\frac1{24}x^4.$$

Pero ellos sólo funcionan para los radianes . Puedes escribirlos para otras unidades, pero nunca quedarán tan naturales, ni siquiera para los ángulos de las unidades $[0,1]$ .

Answer 2

Con los radianes, la longitud de arco y el área del sector son especialmente $r\theta$ y $\frac{1}{2}r^2\theta$ . También tenemos fórmulas trigonométricas $$\sin\theta=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^n\theta^{2n+1}}{(2n+1)!},\cos\theta=\sum_{n\ge 0}\frac{(-\theta^2)^n}{(2n)!}.$$ Para trabajar con grados en su lugar, tendría que reemplazar $\theta$ en cada resultado con $\frac{\pi\theta} {180}$ . ¿Qué prefieres usar?

Answer 3

Los grados son la unidad de medida habitual para los ángulos, los radianes son la unidad matemática. Los grados proceden de las operaciones históricas de base 60. Se eligió esta base porque es divisible por los seis primeros enteros positivos ( $1$ a $6$ ). Como facilita la expresión de ángulos comunes en grados, su uso ha persistido a lo largo de los siglos.

El radián, en cambio, es una unidad matemática. Un ángulo en radianes es $ \frac {\operatorname{arc}} {\operatorname{chord}}$ . También tienes buenas funciones trigonométricas con ángulos en radianes: $\sin' = \cos$ y $\cos' = -\sin$ .

Por eso utilizamos los grados en la vida cotidiana y los radianes en las matemáticas.

Answer 4

Quiero ofrecer otra perspectiva, que no contradice las otras respuestas sino que las mira desde un ángulo diferente...

La respuesta corta

Definir los ángulos en radianes tiene la ventaja de que es más coherente con la forma en que solemos definir otras magnitudes.

La respuesta larga

Dejemos de lado los ángulos por un momento y pensemos en cómo definimos los tipos de cantidades en general. Tomemos un ejemplo de las ciencias naturales. Queremos definir la "densidad" de una sustancia, que representaría nuestra percepción intuitiva del concepto. La densidad significa cuántas cosas hay en un determinado volumen, así que definimos la densidad como la relación entre el número de partículas de la sustancia y su volumen:

$\mathrm{density=\frac{number\: of\: particles}{volume}}$ .

También podríamos haberla definido como

$\mathrm{density=62.112\times\frac{number\: of\: particles}{volume}}$ ,

y seguiría siendo útil para nosotros, pero como no tenemos ninguna razón para añadir el número $62.112$ simplemente no lo hacemos. Nos parece más sencillo utilizar simplemente $1$ . Lo mismo ocurre con la mayoría de nuestras definiciones de tipos de cantidades. (Podríamos argumentar que el número $62.112$ es tan arbitrario como el número $1$ pero, aunque pueda ser cierto en algún sentido filosófico, el hecho es que los humanos pensamos en $1$ como más simple. Nos gusta $1$ mejor).

Ahora bien, esto se aplica también a las definiciones matemáticas. Por ejemplo, la función $\sin\alpha$ se definió originalmente como la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo con ángulo $\alpha$ : el lado opuesto a ese ángulo y la hipotenusa.

$\sin\alpha=\mathrm{\frac{opposite\: length}{hypotenuse\: length}}$

¿Por qué fue $\sin$ definida en primer lugar? ¿Y por qué se eligió esta definición concreta? No lo sé con certeza, pero puedo adivinar que la respuesta a la primera pregunta es que alguien (hace algunos milenios) estaba interesado en cuantificar las formas de los diferentes triángulos rectángulos, y $\sin$ tal y como se ha definido anteriormente es, efectivamente, una buena cantidad de este tipo. ¿Y la última pregunta? ¿Por qué no eligieron que la definición fuera

$\sin\alpha=\mathrm{62.112\times \frac{opposite\: length}{hypotenuse\: length}}$ ?

De nuevo, porque es menos sencillo (y también es probable que entonces no trabajaran con esos números).

Ahora, intentemos definir una cantidad que caracterice la magnitud de un ángulo. Tenemos una comprensión intuitiva de un ángulo, y debemos tratar de cuantificarlo. Entonces, ¿qué es un ángulo? Yo lo veo como una abertura entre dos líneas:

¿Cómo podemos cuantificar esto? Se nos ocurren inmediatamente dos opciones. Podemos tomar el área que está "delimitada" entre las dos líneas, o podemos tomar la longitud de la línea que une los extremos de las líneas. Veamos esta última opción:

¿Es esa una buena definición de la magnitud de un ángulo? No, porque en nuestro concepto intuitivo, la magnitud del ángulo no debería depender de la longitud de los lados, y aquí obtenemos que cuanto más larga sea cualquiera de las líneas, mayor será el ángulo. Esto podría resolverse utilizando cocientes de longitudes en lugar de la longitud absoluta. Por ejemplo, el cociente de la línea discontinua con el cociente de la línea inferior. Pero el resultado sigue dependiendo de la relación entre las longitudes de las líneas superior e inferior. Entonces, decidamos que al medir un ángulo, también nos aseguramos de que las líneas tengan una determinada relación de longitudes predefinida. Esta relación sería la relación "estándar".

¿Qué proporción debemos elegir? En realidad puede ser cualquier número, por ejemplo $62.112$ ... Ya lo has entendido: es más sencillo de utilizar $1$ .

Esta definición sigue teniendo un problema que la hace menos útil: no es aditiva. Es decir, la magnitud de un ángulo que puede dividirse en dos ángulos no superpuestos no es igual a la suma de las magnitudes de los ángulos individuales:

¿Cómo podemos mejorar nuestra definición para eludir este problema? podemos utilizar en su lugar la longitud del arco del círculo cuyo centro es la intersección de las dos líneas.

Casi hemos terminado de definir el ángulo. Hemos dicho que utilizaremos la relación entre la longitud del arco y la longitud de la línea. Pero, ¿qué relación debemos utilizar? $\mathrm{angle=62.112\times\frac{arc\: length}{line\: length}}$ ? No. No nos gusta eso. ¿Qué tal si $\mathrm{angle=57.29577951308\times\frac{arc\: length}{line\: length}}$ ? También es feo. Pero, de hecho, ¡así es (aproximadamente) como se definieron los ángulos! Esta definición haría que un ángulo recto fuera $90^\circ$ . (La llamaré la definición de "grados"). Es cierto que esta definición tiene algunas ventajas. Hace que el ángulo máximo alcanzable sea divisible por muchos enteros. Pero, por otro lado, solemos definir cantidades con un $1$ cuando no necesitamos ningún número. Así es como definimos $\sin\alpha$ . Y puesto que así es como solemos definir las cantidades, definir una nueva cantidad de otra manera induciría un montón de números que no son $1$ en nuestros cálculos. Como ejemplo, veamos $\sin\alpha$ y en $\alpha$ . Su definición es bastante similar: cocientes de dos longitudes. De hecho, para ángulos muy pequeños, el triángulo rectángulo y las rectas + arco son casi indistinguibles:

Si definimos los valores de $\sin\alpha$ y $\alpha$ de forma compatible, podemos convertir esta observación en un bonito enunciado matemático que $\sin\alpha\approx\alpha$ . Así que ¡hagámoslos compatibles! Una forma es definir

$\sin\alpha=\mathrm{57.29577951308\times \frac{opposite\: length}{hypotenuse\: length}}$

y utilizando la definición de "grados" para los ángulos. Pero además, no somos compatibles con muchas otras definiciones que hacemos, como las otras funciones trigonométricas, o las áreas. El área de un triángulo tendría la fórmula $\frac{1}{2\times57.29577951308}ab\sin\alpha$ en lugar de la fórmula más agradable $\frac{1}{2}ab\sin\alpha$ . La mejor solución es utilizar simplemente $1$ en la definición de un ángulo. Esto es compatible con todo lo demás que hemos definido, y simplifica muchas cosas.

Como apunte, me gustaría añadir que no me gusta pensar en los radianes y los grados como unidades, sino como diferentes definiciones de la magnitud de un ángulo. No son métodos de medición diferentes, sino definiciones diferentes. Del mismo modo, definir la densidad como el número de partículas dividido por dos veces el volumen que ocupan sería una definición diferente de densidad, no un sistema de unidades diferente. Pero no voy a entrar en la discusión completa aquí...

Answer 5

También hay que tenerlo en cuenta: $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = L$$

Se puede demostrar que $L=\bf1$ si se utilizan los radianes; en caso contrario $L = {\pi\over180}$ . Y en el cálculo este es uno de los límites fundamentales, junto con $(1+y)^{1/y} \underset{y\to0}\longrightarrow e$ .