$\int\sqrt{1-\sin x}\ dx$

Question

Uno de los métodos para encontrar la integral $$\int\sqrt{1-\sin x}\ dx$$ es multiplicando por $\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}$ dentro de la raíz. Entonces, utilizando la identidad $\sin^2x+\cos^2x=1$ obtenemos $$\int\dfrac{\sqrt{\cos^2x}}{\sqrt{1+\sin x}}\ dx$$

El siguiente paso es eliminar el cuadrado con la raíz y utilizando la sustitución $u=\sin x$ . Mi pregunta es ¿por qué? ¿Por qué no ponemos un valor absoluto de $\cos x$ ? Entonces, tenemos dos respuestas. ¿Es esta situación siempre verdadera en cualquier situación similar en integrales indefinidas?

Lo siento, si mi pregunta es trivial. Gracias

Answer 1

Como dice Simply Beautiful Art, tienes razón. La integral indefinida que se obtiene utilizando $\sqrt{\cos(x)^2} = \cos x$ sólo es válido entre $\pm \frac{\pi}{2}$ (y en $2\pi$ intervalos).

El valor real de la integral (alaben a Wolfram con todo su corazón) es $$\frac{2 \sqrt{1-\sin (x)} \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)}{\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$$

La funcionalidad "mostrar pasos" de WolframAlpha comete el mismo error que tú has señalado, y luego se escapa diciendo al final "Esto es equivalente", para valores restringidos de $x$ a la respuesta real". Por supuesto, el sistema de Mathematica Integrate función lo hace bien porque utiliza el vudú.

Answer 2

Otra forma : $$\int\sqrt{1-\sin x}\ dx=\\ \int\sqrt{1-2\sin \dfrac x2 \cos \dfrac x2}\ dx=\\ \int\sqrt{(\sin^2 \dfrac x2+\cos^2 \dfrac x2)-2\sin \dfrac x2 \cos \dfrac x2}\ dx=\\ \int\sqrt{(\sin \dfrac x2-\cos \dfrac x2)^2}\ dx=\\ \int (\sin \dfrac x2-\cos \dfrac x2)dx=2(-\cos \dfrac x2-\sin \dfrac x2 )+const$$