¿Módulo noetheriano implica finito suma directa de indecomposables?

Question

¿Módulo noetheriano implica finito suma directa de indecomposables?

Sea R un anillo y M ser un R-módulo noetheriano.

Si M es indescomponible hemos terminado. De lo contrario, M es una suma directa de dos submódulos adecuadas y no trivial.

Si M faltaron Artinian, podría utilizar la inducción en la longitud (finita) de m. y probar el resultado en el título.

No sé cómo proceder en el caso general. Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

Supongamos que $M$ no puede ser escrito como una finito suma directa de indecomposable módulos. Vamos a mostrar que el $M$ no es noetherian mediante la exhibición de un infinito ascendente de la cadena de submódulos.

Desde $M$ no es indecomposable (para que no $M=M$ ser la suma directa de descomposición en indecomposables), podemos escribir la $M=M_1 \oplus A$ donde $A$ no es también una finito suma directa de indecomposables. (Si ambos $M_1$ $A$ son finitos directa sumas de indecomposables, entonces, evidentemente, así es $M$, que es su suma directa, por lo que uno de ellos, WLOG $A$, no es un finito suma directa de indecomposables.

Supongamos que tenemos $M=M_1 \oplus \ldots M_n \oplus A$ donde $A$ no es un finito suma directa de indecomposables. A continuación, $A=M_{n+1} \oplus A'$ por encima de con $A'$ no finita suma directa de indecomposables. Por lo tanto $M=M_1 \oplus \ldots \oplus M_n \oplus M_{n+1} \oplus A'$ y la inducción procede a darnos un ascendente de la cadena de $$0 < M_1 < M_1 \oplus M_2 < \ldots < M_1 \oplus \ldots \oplus M_n < \ldots$$ of submodules. Hence $M$ no es noetherian.

En otras palabras, cualquier módulo contiene una infinita suma directa de submódulos (su dimensión uniforme es infinito, también conocido como Goldie dimensión). Un módulo no puede ser artinian como se puede mantener la eliminación de un sumando, pero el módulo no puede ser noetherian como se puede mantener la adición de un sumando. Módulos de finito dimensión uniforme tiene muchas buenas propiedades que se describen en la sección 6 de Lam Conferencias sobre los Módulos y Anillos.