¿Es el ' masivo ' Calogero-Moser sistema todavía integrable?

Question

De fondo

El (racional) Calogero-Moser sistema es el sistema dinámico que describe la evolución de $n$ de las partículas en la línea de $\mathbb{C}$ que se repelen entre sí con una fuerza proporcional al cubo de su distancia. Si las partículas tienen (distinto!) la posición $q_i$ e ímpetu $p_i$, entonces el Hamiltoniano que describe este sistema es $$ H=\sum_i p_i^2+\sum_{i\neq k}\frac{1}{(x_i-x_k)^2} $$ Hay muchas propiedades interesantes de este sistema, pero una de las primeras propiedades interesantes es que "es completamente integrable'. Esto significa que resolver de forma expresa las cantidades a la resolución de una serie de straight-forward integrales.

La integrabilidad puede ser más fácil de muestra, mostrando que el espacio de fases de este sistema incluye en un simpléctica reducción de un cierto espacio de la matriz y, a continuación, darse cuenta de que la Hamiltoniana es una restricción de un integrable Hamiltonianos en todo el espacio. Esto se hace asignando a cualquier conjunto de puntos de $q_i$ y momenta $q_i$ un par de $n\times n$ matrices $X$ $Y$ donde $X$ es la matriz diagonal con $q_i$ en las entradas de la diagonal, mientras que $Y$ está dado por $$ Y_{ii}=p_i, \; Y_{ik}=(x_i-x_k)^{-1}, \; i\neq k $$ Esta matriz de asignación define un mapa del espacio de configuración $CM_n$ de la CM sistema para el espacio de los pares de matrices. El espacio de los pares de matrices $(X,Y)$ es, naturalmente, un simpléctica espacio de la forma bilineal $(X,Y)\cdot (X',Y')=Tr(XY')-Tr(X'Y)$, y la acción de la $GL_n$ por la simultánea de conjugación, naturalmente, tiene un momento de mapa. Por lo tanto, se sympletically reducir el espacio de los pares de matrices en un determinado coadjoint órbita (no el origen) y obtener una nueva simpléctica espacio de $\overline{CM}_n$.

Que componen la anterior matriz de asignación con simpléctica de reducción, se obtiene un mapa de $CM_n\rightarrow \overline{CM}_n$. Este mapa resulta ser un simpléctica inclusión que ha densa de la imagen. También notamos que las funciones $Tr(Y^i)$$i$$1$$n$, desciende a una Poisson-los desplazamientos de la familia de funciones en $\overline{CM}_n$, y debido a $\overline{CM}_n$ $2n$ dimensiones, cada una de las funciones de $Tr(Y^i)$ da un integrable flujo en $\overline{CM}_n$. Finalmente, nos damos cuenta de que $Tr(Y^2)$ restringe a$H$$CM_n$.

La Enorme Versión del Sistema CM

Ahora, hacer el siguiente cambio en el sistema. Para cada una de las partículas, asignar un número $m_i$ (la masa), que puede ser en $\mathbb{C}$, pero estoy interesado en el caso de que el $m_i$ son enteros positivos. Definir la masiva CM de Hamilton como $$H_m=\sum_i\frac{p_i^2}{m_i}+\sum_{i\neq k}\frac{m_im_k}{(x_i-x_k)^2} $$ El significado físico de esta ecuación es que las partículas tienen la fuerza proporcional a la inversa del cubo de su distancia, pero la fuerza es proporcional a la masa de la partícula; también, las partículas de resistir la aceleración proporcional a su masa. Si la fuerza fuera a dejar proporcional al inverso del cuadrado de su distancia, y atraer en lugar de repeler, este sería un modelo de cómo la masiva las partículas se mueven bajo la influencia de la gravedad.

Preguntas

1. Es este sistema integrable?
2. Puede realizarse en una similar forma de la matriz?
3. Tiene la interesante o nuevo comportamiento que el habitual sistema CM?

Una Idea

Es casi posible realizar este Hamiltoniano en una simple modificación de la anterior. Deje $M$ denotar la matriz diagonal con los $m_i$s en la diagonal. Entonces $$Tr(MYMY)=\sum_im_i^2p_i^2+\sum_{i\neq k}\frac{m_im_k}{(x_i-x_k)^2}$$ Las funciones de $Tr( (MY)^i)$ nuevo debe ser de Poisson conmutativa de la familia. Reescalado de la $p_i$ $m_i^{3/2}$ da la masiva Hamiltonianos $H_m$; sin embargo, este reescalado no es simpléctica, y por lo que no preservar los flujos.

Otra Idea

En el caso de entero $m_i$, una posibilidad es trabajar con $N\times N$ matrices en lugar de $n\times n$ matrices, donde $N=\sum m_i$. Entonces es posible construir una matriz de $X$ con autovalores $q_i$, cada uno de los que ocurren con la multiplicidad $m_i$, así como una matriz de $Y$ tal que $(X,Y)$ define un punto en $\overline{CM}_N$. El Hamiltoniano $Tr(Y^2)$ incluso restringe a la correcta 'masivo' de Hamilton $H_m$. Sin embargo, el flujo descrito por este Hamiltoniano en $\overline{CM}_n$ en casi todos los casos, inmediatamente separada de autovalores que comenzaron a trabajar juntos, lo que no queremos. Si restringimos el Hamiltoniano para el subespacio cerrado donde los autovalores están obligados a permanecer juntos, entonces esto le da el flujo deseado. Por desgracia, la restricción a una subvariedad cerrada no conserva un Hamiltoniano de ser integrable.

Answer 1

El papel de "Meromorphic Paramétrico No-Integrabilidad, la Inversa del Cuadrado de Potencial" por E. J. Tosel, demuestra que casi lo fue reivindicada en los comentarios. Excepto para Jacobi del teorema:

El 3-problema de cuerpo en una línea arbitraria de masasy inversa del cuadrado de potencial es completamente integrable con rational primera de las integrales.

y Calogero-Moser del Teorema:

La n-problema de los tres cuerpos con masas iguales en una línea con un cuadrado inverso potencial es completamente integrable. Más precisamente, existe una familia completa de los desplazamientos primera integrales que son racionales en $(Q,P)$.

el resto de los casos no son integrables. El principal es el teorema:

Teorema 3 (No-integrabilidad meromorphic en el lineal de los ímpetus y las masas, racional en las posiciones).

(i) Por $n = 4$, $n$problema de los tres cuerpos en una línea con un cuadrado inverso potencial ¿ no tienen un sistema completo de forma genérica independiente de la primera de las integrales que se racional con respecto a $Q$ y meromorphic con respecto a $P$ $(m _i) _{1\le i\le n}$

(ii) Por $n = 3$$p \geq 2$, $n$problema de los tres cuerpos en $\mathbb{R} ^p$ con un cuadrado inverso potencial no tiene un sistema completo de forma genérica independiente de la primera de las integrales que son racionales con respecto a $Q$ y meromorphic con respecto a $P$ y $(m _i) _{1\le i\le n}$

Un corolario de este teorema es que Calogero-Moser del teorema de ofertas con un caso excepcional: no puede existir un par de Lax $(L,B)$ que dependería meromorphically en las masas de $n$ cuerpos en una línea ($n \geq 4$).

Hay un comentario de ahí que la racionalidad de la condición en el caso de las necesidades de la línea sólo se puede comprobar en $n-4$ posiciones.

Answer 2

Sólo para agregar a la respuesta de Gjergji Zaimi, Harry Braden me ha enviado las expresiones para las cargas conservadas responsable para la integrabilidad del $N=3$ modelo:

• El ímpetu total $P = p_1 + p_2 + p_3$

• El hamiltoniano $H$

• $Q = 2 H \sum_{i=1}^3 m_i x_i^2 -(\sum_{i=1}^3 x_i p_i )^2$