Son los enteros cerrado bajo la adición de... de verdad?

Question

Bueno por lo que estoy un 3er año de licenciatura el estudio de las Matemáticas. He probado en el grupo de teoría de la infinidad de veces que los números enteros son cerrado bajo la suma.

Es obvio para mí que son.

Sin embargo, esto acaba de poner un poco de una llave en las obras y me gustaría ver sus opiniones sobre este.

Tomar la infinita suma: $S = 1 + x + x^2 + x^3 +... = \frac{1}{1-x}$$x<1$.
[La serie geométrica es sólo convergente para $|x| < 1$. Tal vez esto es parte de la cuestión. ---PLC]

[Hay otros muchos casos de estos, tomar la bien conocida de la física que $\sum_{n\in \mathbb{Z}}^\inf n = 0 + 1 + 2 + 3+.. = \frac{-1}{12}$]
Un conocido resultado.

Ahora vamos a diferenciar esto, con respecto a $x$.

$\frac{d S}{dx} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3+ ...= \frac{1}{(x-1)^2}$

Ahora el tratamiento de la $S$ como una función de la $x$ vamos a sustituir en $x = -1$

Esto le da a $S = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = \frac{1}{4}$

Ahora tengo una suma de números enteros que se agregan juntos y me sale: $\frac{1}{4}\notin \mathbb{Z}$

Por lo tanto los enteros no está cerrado bajo la suma.

Ahora supongo que el problema es el de siempre: el infinito. La brecha entre infinitas sumas y normal sumas de dinero siempre parece proporcionar estos pequeños problemas extraños. Es comúnmente aceptado que tanto $S = \frac{1}{4}$, y el de los números enteros está cerrado bajo la suma.

Vamos a obtener como filosófico aquí como te gusta..

EDICIONES..

Mi motivación para esta pregunta proviene de un Numberphile video en youtube: http://youtu.be/PCu_BNNI5x4
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Que un estado alternativo de prueba como:

Dado $S_1 = 1 +1 - 1 - 1.. = \frac{1}{2}$. Demostrado en el primer enlace.
Deje $S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ... $

Por lo $2S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 1 - 2 + 3 - 4 + ...$

Ahora mediante la adición de coloums podemos ver fácilmente que:
$2S_2 = 1 - 1 + 1 - 1 + .. = \frac{1}{2}$ $S_1$.
$S_2 = \frac{1}{4}$

Answer 1

Cuando se dice que "$X$ es cerrado bajo la operación binaria $\circ$", esto significa que para cualquier $a$ $b$ en $X$, $a \circ b$ es en $X$. Es fácil demostrar (por una simple inducción) que cualquier suma finita es, por tanto, cerrado en $X$.

Sin embargo, infinitas sumas de dinero se define con un límite (de las sumas parciales), lo que significa que no sólo dependen de la operación $\circ$, pero también requieren de un topológica de la estructura definida en $X$. Ahora los enteros $\mathbb{Z}$ tienen un estándar de estructura topológica, además de su estructura algebraica, es la topología discreta, y se trata de la orden de la $\mathbb{Z}$. Sin embargo, en este sistema, no es en realidad ningún límite de la secuencia de sumas parciales $1$, $1 - 2$, $1 - 2 + 3$, ... (*) y por lo que no suma infinita. De hecho, una infinita suma de enteros sólo puede tener un límite si todos, pero un número finito de sus términos se $0$. Otra sutil defecto es que cuando se tomó un "derivado", que significa que usted pasa de $\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$, y se evalúa una función en $\mathbb{R}$ en el lado derecho, para obtener una "suma" de la izquierda (que puede ser una técnica válida, dando una forma de "divergente suma", pero es importante recordar que esta es en realidad una generalización más allá de la habitual y estricta "límite" de la definición de la suma infinita). Así que a la izquierda de los números enteros, y por lo tanto no es de extrañar que vas a tener un resultado no entero. El punto importante a recordar es que aunque infinitas sumas y finito de sumas no son la misma cosa: una es puramente algebraica, el otro aprovecha adicionales (topológico) de la estructura en el conjunto en cuestión, y el cierre es estrictamente algebraicas.

Por último, es importante tener en cuenta que esta serie no tiene una suma de $\mathbb{R}$, ya sea en el estricto límite de sentido.

Answer 2

Suma está definida para ser finito. Series infinitas son sólo límite de una secuencia que se define como las sumas parciales.

Los números enteros, si es así, son cerrados bajo finito de sumas. Y, por tanto, por definición, cerrado bajo la suma.

Answer 3

La representación de la serie $$ 1+z+z^2+\ldots=\frac{1}{1-z} $$ sólo es válido para $|z|<1$ (en el sentido de que la mano izquierda converge sólo en esa región del plano complejo). Así que no se puede afirmar que esta igualdad (o cualquiera de sus derivados) a $z=-1$: la suma de $1-1+1-1+\ldots \neq 1/2$, al menos no sin un acuerdo sobre una convención para el significado o el valor de un no-convergente la serie. El problema no tiene que ver con el infinito en este caso, y en el cierre de $\mathbb{Z}$ es seguro: la suma de una serie infinita de los números enteros es un entero si la suma converge a todos. (Por supuesto, sólo pueden converger si hay sólo un número finito distinto de cero términos.) En otros casos, sin embargo, un grupo que es cerrado bajo suma finita bien puede no ser cerrado bajo "suma infinita" (por ejemplo, $\mathbb{Q}$ no contenga todos los de su límite de puntos), se puede razonablemente decir que "el infinito es el problema".

Answer 4

Para aclarar la situación:

• Los enteros son cerrado bajo la suma. Cualquier suma finita de números enteros es un número entero.
• Los enteros son también completa con arreglo a la costumbre de la métrica. Si una serie infinita de números enteros converge en este indicador, se debe converger a un valor entero.
• La serie $1-2+3-4+\cdots$ no converge; su "suma" no existe.
• El Abel de la suma de la serie $1-2+3-4+\cdots$$\frac14$. Este ejemplo demuestra que el Abel suma de una serie de números enteros no es necesariamente un entero.

No hay contradicciones aquí!

Answer 5

No hay necesidad de una filosofía aquí.

Lo que usted llame a un $S$ no es una suma de todo, es que el límite de una secuencia, (si es que sucede incluso convergen).