Índice finito de subgrupos del subgrupo

Question

Probar lo siguiente: si $H$ es un subgrupo de índice finito en un grupo $G$, $K$ es un subgrupo de % que contiene $G$% #% y $H$ es de índice finito en $K$ y $G$.

¿Así que esto es básicamente una prueba biyectiva? ¿El número de cojunto de $[G:H] = [G:K][K:H]$ $H$ equivale al número de cojunto de $G$ en $K$ veces el número de cojunto de $G$ $H$ por el principio de multiplicación?

Referencia: Fraleigh p. 103 pregunta 10.35 en un primer curso en álgebra abstracta

Answer 1

De hecho, el resultado se mantiene incluso si usted no asumir que estamos tratando con un límite, índice, a condición de que usted tome la igualdad a ser una igualdad de cardinalidades. Simplemente sigue la idea de Pete Clark sugiere, pero sin asumir que el número de cosets es finito en cualquiera de los casos. Y recuerde que el número de los distintos cosets de un subgrupo de $B$ en un grupo de $A$ es igual, por definición, el índice de $B$ en $A$, $[A:B]$.

En cuanto a si el $x_i$ "coset representantes de $H$", recuerde que para que una colección de elementos a ser "un conjunto de coset representantes" exigimos que si $x_iH = x_jH$,$i=j$, y que para cada $g\in G$ existe $i$ tal que $gH = x_iH$ (el pensamiento de la izquierda cosets; derecho cosets funcionan de la misma manera). Por lo $x_1,\ldots,x_n$ norma general no será "un coset representante" ni un conjunto de coset representantes, pero que es inmaterial. Simplemente mostrar que si $\{x_i\}_{i\in I}$ es un conjunto de coset representantes de $K$ $G$ (lo que significa, (i) para cada $g\in G$ existe $i\in I$ tal que $gK = x_iK$; y (ii) para todos los $i,i'\in I$ si $x_iK = x_{i'}K$$i=i'$), y $\{y_j\}_{j\in J}$ es un conjunto de coset representantes de $H$ en $K$ (en el sentido de (1) para cada $k\in K$ existe $j\in J$ tal que $kH = y_jH$; y (2) para todas las $j,j'\in J$ si $y_jH = y_{j'}H$,$j=j'$); luego de ello se sigue que $\{x_iy_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ es un conjunto de coset representantes de $H$ $G$ (lo que significa que usted necesita para probar que (I) para todos los $g\in G$ existe $(i,j)\in I\times J$ tal que $gH = (x_iy_j)H$; y (II) para todos los $(i,j),(i',j')\in I\times J$ si $(x_iy_j)H = (x_{i'}y_{j'})H$,$(i,j)=(i',j')$).

Un hecho que sin duda útil es recordar que para cualquier grupo de $A$ y cualquier subgrupo $B$ de $A$, $cB = dB$ si y sólo si $cB\cap dB\neq\emptyset$.

Answer 2

El mapa canónico $G/H \to G/K$ es sobreyectiva. La fibra de $gK$ es $\{gkH : k \in K\}$, que puede ser identificado con $K/H$.

Answer 3

Mientras estudiaba hoy, creo que hice un ejercicio muy similar. Se presenta como:

$G$ De ser un grupo finito y $H \leq K \leq G$, demostrar que $|G:H| = |G:K|\cdot|K:H|$.

Me respondió lo siguiente:

$|G:K|\cdot|K:H| = \frac{|G|}{|K|}\cdot\frac{|K|}{|H|} = \frac{|G|\cdot|K|}{|K|\cdot|H|} = |G:H|$

¿Es lo mismo o estoy confundiendo a nada?

Gracias por la atención.

(Sé que esto no es una respuesta a su pregunta y si encuentra este mensaje spam, por favor me avisan).