Derivación de una ecuación cartesiana implícita a partir de una ecuación polar con múltiplos fraccionarios del ángulo

Question

Normalmente, aplicando las fórmulas de conversión

$r^2=x^2+y^2$

$\cos\;\theta=\frac{x}{r}$

$\sin\;\theta=\frac{y}{r}$

para transformar una ecuación en coordenadas polares a una ecuación cartesiana implícita es bastante sencillo para una ecuación de la forma

$r=f(\cos(n\theta),\sin(n\theta))$

con $n$ un número entero, gracias a las fórmulas de ángulos múltiples. Las ecuaciones polares de la forma

$r=f\left(\cos\left(\frac{p}{q}\theta\right),\sin\left(\frac{r}{s}\theta\right)\right)$

donde $p$ , $q$ , $r$ y $s$ son números enteros, y $\frac{p}{q}$ y $\frac{r}{s}$ están en términos más bajos, son más difíciles de manejar, pero el caso en el que $q$ , $s$ son potencias de 2 se ve ligeramente facilitada por la existencia de identidades como $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin\;\theta}{1+\cos\;\theta}$ .

Los casos realmente difíciles de manejar son los de El sextil de Cayley :

$r=4a\cos^3\left(\frac{\theta}{3}\right)$

y, en general, los casos con fracciones cuyos denominadores no son potencias de 2. En particular, para la sexta de Cayley, no consigo encontrar una forma rápida de explotar las identidades angulares múltiples adecuadas.

Un "truco" que he visto es representar la ecuación polar como un par de ecuaciones paramétricas, y luego hacer la sustitución $\theta=3\arctan\;t$ para que todo se represente algebraicamente. El problema es que, aparentemente, se necesita cierta perspicacia para reconocer cómo eliminar el nuevo parámetro $t$ fácilmente. Para casos aún más difíciles como

$r=\cos\left(\frac{2\theta}{3}\right)-\sin\left(\frac{3\theta}{5}\right)$

la sustitución adecuada tras la transformación a ecuaciones paramétricas es $\theta=\mathrm{LCM}(3,5)\arctan\;t$ pero las expresiones, aunque algebraicas, parecen aún más pesadillescas de manipular.

Mathematica no tiene problemas para resolver la ecuación cartesiana implícita, mediante un uso juicioso de las bases de Gröbner:

Factor /@ GroebnerBasis[Append[Thread[{x, y} == TrigExpand[{4a Cos[t/3]^3 Cos[t], 4a Cos[t/3]^3 Sin[t]}]],
Cos[t/3]^2 + Sin[t/3]^2 == 1], {x, y}, {Cos[t/3], Sin[t/3]}, MonomialOrder -> EliminationOrder]

pero estoy bastante seguro de que las ecuaciones cartesianas ya estaban determinadas mucho antes de que naciera Buchberger.

¿Cómo se podría determinar la ecuación cartesiana de dicha curva utilizando únicamente técnicas clásicas?

A propósito de esta pregunta, ¿existe una forma rápida de determinar el grado de una curva algebraica representada en coordenadas polares sin tener que hacer una conversión?

Answer 1

Este es un método sistemático, pero no recomendable para el cálculo con papel y lápiz de papel y lápiz.

Dejemos que $n$ sea un denominador común para todos los racionales $r$ tal que $\sin r\theta$ o $\cos r\theta$ surge en la fórmula. Sea $u=\cos(\theta/n)$ y $v=\sin(\theta/n)$ . Hay polinomios $\phi_n$ y $\psi_n$ tal que $\cos\theta=\phi_n(u,v)$ y $\sin\theta=\psi_n(u,v)$ . La curva tiene una ecuación polar que se puede escribir como $f(r,u,v)=0$ . Consideremos ahora el sistema de ecuaciones: $$f(s^2,u,v)=0,\ \ \ x=s^2\phi_n(u,v),\ \ \ y=s^2\psi_n(u,v),\ \ \ u^2+v^2=1.$$ Sí, cuatro ecuaciones en cinco variables. Usando algún procedimiento sistemático de procedimiento de eliminación, por ejemplo Bases de Groebner eliminar las tres variables $s$ , $u$ y $v$ para obtener (se espera) una ecuación en $x$ y $y$ . Sin duda, ayuda tener algún paquete informático para hacerlo.

Por ejemplo, para $r=4a\cos^3(\theta/3)$ el sistema de ecuaciones se convierte en $$s^2=4au^3,\ \ \ x=s^2(u^3-3uv^2),\ \ \ y=s^2(3u^2v-v^3),\ \ \ u^2+v^2=1.$$ Bueno, no voy a hacer la eliminación, pero $s^2$ desaparece fácilmente bastante....

Answer 2

Podríamos hacer algo sencillo, ya que tenemos: \begin{equation} \cos\left(\frac{p}{q}\theta\right)=\frac{1}{2}\left(e^{i\frac{p}{q}\theta}+e^{-i\frac{p}{q}\theta}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{r}+i\frac{y}{r}\right)^{\frac{p}{q}}+\left(\frac{x}{r}-i\frac{y}{r}\right)^{\frac{p}{q}}\right) \end{equation} Es decir \begin{equation} \cos\left(\frac{p}{q}\theta\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)^{\frac{p}{2q}}\left(\left(x+iy\right)^{\frac{p}{q}}+\left(x-iy\right)^{\frac{p}{q}}\right) \end{equation} y de forma similar tenemos \begin{equation} \sin\left(\frac{p}{q}\theta\right)=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)^{\frac{p}{2q}}\left(\left(x+iy\right)^{\frac{p}{q}}-\left(x-iy\right)^{\frac{p}{q}}\right) \end{equation} Ahora podemos usarlas para expresar sus ecuaciones en términos de $x$ y $y$ . ¿Esto sirve de algo?