¿Producto de la cuña = conjunto de intersección?

Question

En un artículo de investigación [1] me encontré con la siguiente formulación:

La cuña producto puede considerarse como la intersección de conjuntos. Para ejemplo, las superficies de constante $f(x,y,z)$ y la superficie de la constante de $g(x,y,z)$ se cruza a lo largo de las líneas dadas por $df \wedge dg$. La noción de de la interpretación de la cuña de producto como la intersección de conjuntos es atractivo desde un punto de vista topológico.

El artículo casi no hacen uso de exterior diferencial de los sistemas o de otras sofisticadas matemáticas. También se da ninguna referencia precisa para la declaración anterior.

Preguntas:

1. ¿Este punto de vista (cuña producto = intersección de conjuntos) hacen sentido?
2. Lo que se quiere decir con "las líneas dadas por $df \wedge dg$"? Edit: E. g. Cuando me puse a $f(x,y,z) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) $ $g(x,y,z) = ax + by + cz$ real con constantes $a,b,c$. Luego tenemos a $df\wedge dg = (x dx + y dy + z dz)\wedge(a dx + b dy + c dz)$. Pero lo que la línea no corresponde a este 2-forma. (Sospecho que obtenemos de los círculos.)

[1] http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=990890

Answer 1

La declaración en el artículo tiene que ser tomado con un gran grano de sal. Incluso para $1$-formas, no hay manera consistente para interpretar toda la cuña de productos de $1$-formas como las intersecciones.

Si restringe la atención a nonvanishing descomponible formas (que pueden ser escritos localmente como cuña productos de $1$-formas), y añadir un par de restricciones adicionales, entonces hay algo que se puede decir.

Si $\omega$ es cualquier forma diferenciada en un $n$-colector $M$, vamos a definir el núcleo (a veces llamado el radical) de $\omega$ a un punto de $p\in M$ a ser el conjunto de vectores $v\in T_pM$ tal que $\omega_p(v,\cdot,\dots,\cdot) = 0$. Si $\omega$ es un nonvanishing descomponible $k$-forma, su núcleo en $p$ $(n-k)$- dimensiones subespacio de $T_pM$ (el núcleo común de $\eta_1,\dots,\eta_k$ cuando escribimos $\omega_p = \eta_1\wedge\dots\wedge\eta_k$), y estos subespacios se unen para formar un suave $(n-k)$-dimensional de distribución en $M$.

Ahora bien, si tanto $\omega$ $\theta$ son nonvanishing descomponible formas, y sus distribuciones son transversales a cada uno de los otros (es decir, las dos distribuciones se extienden por el espacio de la tangente en cada punto), a continuación, $\omega\wedge\theta$ es un nonvanishing descomponible formulario cuya distribución es la intersección de las distribuciones determinado por $\omega$$\theta$.

Si las distribuciones en cuestión de pasar a ser integrable, entonces esto puede ser reformulado en términos de las hojas de la correspondiente foliaciones: Cada hoja determinado por $\omega\wedge\theta$ es un (componente conectado) de una intersección de una hoja determinada por $\omega$ y determinado por $\theta$.

Si las formas en cuestión son permitidas desaparecer, o las distribuciones a suceder, no para ser transversal en algún lugar, entonces todo esto se cae a pedazos debido a la $\omega\wedge\theta$ será cero en todos los puntos.

Answer 2

En un no punto crítico de la $x$$f$, el núcleo de la $1$forma $\text{d}f$ es el espacio de la tangente a la superficie de la $X := f^{-1}(f(x))$$x$; del mismo modo, para un no punto crítico de la $x$ de $g$, $\text{d}g_x$ tiene el espacio de la tangente de $Y := g^{-1}(g(x))$ $x$ como su núcleo. Poner los dos juntos, en la no-crítica de los puntos de $x$ por tanto $f$ $g$ el radical de la inclinación simétrica $2$forma $\text{d}f\wedge\text{d}g$ contiene la intersección $\text{T}_x X\cap\text{T}_x Y$, que en un punto de intersección transversal de $X$ $Y$ es sólo $\text{T}_x (X\cap Y)$. En este sentido, el $2$forma $\text{d}f\wedge\text{d}g$ puede ser considerado como 'cortar' la intersección de los conjuntos de nivel de $f$$g$.

También, es posible que desee buscar en la Dualidad de Poincaré entre el $\cup$/$\wedge$-producto en cohomology y la intersección de producto en la homología.

Editar sobre el ejemplo

Wlog tomamos $g(x,y,z) := z$, por lo que el $\text{d}g = \text{d}z$, elija cualquiera de los ${\mathbf x}_0=(x_0,y_0,z_0)\in {\mathbb R}^3$ y poner $r_0 := f({\mathbf x}_0)=\frac{1}{2}(x_0^2+y_0^2+z_0^2)$. Edificio en la intuición anterior, esperamos que $(\text{d}f\wedge\text{d}g)_{{\mathbf x}_0}$ a contener el espacio de la tangente de la intersección $\{z = z_0\}\cap\{\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)=r_0\}$ ${\mathbf x}_0$ en su radical, con la igualdad en puntos de ${\mathbf x}_0$ de intersección transversal, que son, precisamente, los ${\mathbf x}_0$ donde $(x_0,y_0)\neq (0,0)$.

Ahora, $(\text{d}f\wedge \text{d} g)_{{\mathbf x}_0} = (x_0 \text{d}x + y_0\text{d}y + z_0\text{d}z)\wedge \text{d}z = x_0\text{d}x\wedge\text{d}z + y_0\text{d}y\wedge\text{d}z$. Vamos a llamar a esta forma de $\omega$; en un vector tangente ${\mathbf v} := v_x\frac{\partial}{\partial x} + v_y\frac{\partial}{\partial y} + v_z\frac{\partial}{\partial z}$ su restricción está dada por $\omega({\mathbf v},-) = (v_x x_0 + v_y y_0)\text{d} z - v_z x_0 \text{d} x - v_z y_0\text{d}y$. Para $(x_0,y_0)=(0,0)$, este se desvanece por completo, mientras que para $(x_0,y_0)\neq (0,0)$ el radical está dado por las $\mathbf v$ donde$v_z=0$$(v_x,v_y)\perp (x_0,y_0)$. Este es, precisamente, a la espera de la tangente de la línea.

Answer 3

Definir los vectores característicos (campos) de una forma como $\iota_v\omega=0$. Por las propiedades del producto en el interior de si ambos $v_1$ $v_2$ c.v., entonces, así como sus combinaciones lineales, $\text{span}(v_1,v_2)$. Además, si el rango de la forma $r$, el número de linealmente independiente de vectores característicos es $n-r$.

Se puede describir un plano tangente a $f=\text{const}$ a un punto a regular $p$ como un espacio lineal $\{v\}$ tal que $\iota_vdf=df(v)=f_xv^1+f_yv^2+f_zv^3=0$.

Luego, utilizando $\iota_v(\beta\wedge\gamma) = (\iota_v\beta)\wedge\gamma+(-1)^p\beta\wedge(\iota_v\gamma)$ buscamos $\{v\}:\iota_v(df\wedge dg)=(\iota_vdf)\wedge dg-(\iota_vdg)\wedge df=0$. Esto es generalmente satisfechos sólo si el vector está en la tangente espacios tanto a nivel de las superficies en los puntos de intersección, que nos da la tangente a las líneas de la intersección. Por su ejemplo, usted tendría que resolver simultáneamente $xv^1+yv^2+zv^3=0$ $av^1+bv^2+cv^3=0$ para obtener la línea tangente. Los puntos de intersección, al menos inicial, todavía no se encuentra desde $f=g=\text{const}.$