Encontrar todas las soluciones integrales a $x^6-y^6+3x^4y-3y^4x+y^3+3x^2+3x+1=0$

Question

Si $x,y\in\mathbb{Z}_{+}$, buscar todas las soluciones integrales para:

$$x^6-y^6+3x^4y-3y^4x+y^3+3x^2+3x+1=0$$

Traté de resolver esta cuestión de una hora, pero todavía no. He probado el mod de la reducción y de la factorización, pero no podía hacerlo. Doy la bienvenida a cualquier enfoque (primaria o sin educación primaria) para esta pregunta.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias de antemano.

Answer 1

Dado: $x^6-y^6+3x^4y-3y^4x+y^3+3x^2+3x+1=0$

$\implies(x+1)^3+(x^2+y)^3=(x+y^2)^3$

Por Último Teorema de Fermat, ya $x,y\in\mathbb{Z}^+$ , esta ecuación no tiene solución.

Answer 2

Sugerencia:

Usted puede cambiar esto como $$(x+1)^3-x^3=y^6-x^6+3xy(y^3-x^3)=(y^3-x^3)(y^3+3xy+x^3)$$

Y tenga en cuenta que $x,y\in \mathbb Z^+$

Answer 3

Creo que se puede hacer directamente, sin reducir a la FLT. Un poco de con álgebra muestra que $|x^6 - y^6|$ domina el orden inferior de condiciones para todos, salvo una muy pequeña colección finita de $x$ $y$ (que se puede comprobar con la mano):

En primer lugar, es fácil ver que cualquier solución debe tener $y \gt x \gt 0$, por lo que escribir $y = x + a$, $a \gt 0$ también.

Ahora sustituir y ampliar todo. Puedo conseguir, $$ y^6 - x^6 = 6ax^5 + 15a^2x^4 + 20a^3x^3 + 15 a^4x^2 + 6a^5x + a^6 $$ mientras que, si mi lápiz-y-papel de cálculo es correcto, $$ 3x^4y - 3xy^4 + 3x^2 + 3x + 1 = -(3a^4-1)x - (12 a^3 - 1) x^2 - 18 a^2 x^3 - 9 x^4 + 1 $$ La comparación de los términos en las dos expresiones anteriores, vemos que la sexta términos de orden estrictamente mayor (en valor absoluto) de orden inferior implican el mismo poder de $a$, (con la excepción de pequeñas $a,x$). E. g., $$ 18^2 x^3 < 15^2 x^4 \quad \textrm{a menos que} \quad a,x < 2 $$ $$ |(3a^4 - 1)x| < 15 a^4 x^2 \quad \textrm{si} \quad a,x \ge 1 $$ y también, $a^6 > 1$$a > 1$.

Todos los de sexto orden de los términos tienen el mismo signo. Entonces tenemos que la suma de la sexta términos de orden es estrictamente mayor que la suma absoluta de la parte inferior de los términos de orden. El resto de los casos (creo que sólo $a,x \in {1,2}$) se puede comprobar con la mano.