¿Cómo probar cóncavo convexo + = afín?

Question

Supongamos $f:R^n\to R$ es tanto cóncavas y convexas, como para demostrar que $f$ es lineal? o exactamente hablando, $f$ es afín?

Pensé durante todo el día, pero no puedo averiguar.

Cuando yo estaba trabajando en este problema, me encontré con otro problema, son todos los convexos función continua?Si no, hay alguna contador de ejemplo?

En realidad, puedo demostrar para el caso unidimensional, en el que $f:R\to R$. Sin embargo, no puedo generalizar a n dimensional de los casos.

Por cierto, yo uso la definición de convexa(cóncava) como este: $$f(t\vec{x}+(1-t)\vec{y})\leq(or \geq)tf(\vec{x})+(1-t)f(\vec{y}), \forall t\in[0,1].$$

Muchas gracias!

Answer 1

Que $g(x) = f(x) - f(0)$. Basta para mostrar que $g$ (que también es convexa y cóncava y satisface $g(0)=0$) es lineal. A continuación, tenga en cuenta que $t > 1$, $x = (1/t) (tx) + (1 - 1/t) (0)$.

Debe darle un buen comienzo...

Answer 2

En primer lugar.... Cuando yo estaba trabajando en este problema, me encontré con otro problema, son todos los convexos función continua?Si no, hay alguna contador de ejemplo?

Es un requisito que todas las funciones convexas DEBE ser continua, esto es debido a que el epígrafe de una función convexa es un conjunto convexo; pero una discontinuidad (de cualquier tipo) sería, obviamente, impide el epígrafe de una función de ser convexa y, por tanto, la función que induce el epígrafe no podía ser convexo. Me doy cuenta de que "obviamente" es algo que la gente generalmente no quieren escuchar, pero me siento como considerar el epígrafe no es obvio pero, una vez que el requerido implicaciones son obvias.

En segundo lugar...

Respecto a ese $f(x)$ es afín es igualmente trivial si se considera el epígrafe y un geométrica simple argumento. $f(x)$ es cóncava iff $-f(x)$ es convexo si el epígrafe de $-f(x)$ es convexa. Pero, a continuación, en el epígrafe de $f(x)$ debe ser convexa Y el subgrafo de $f(x)$ debe ser convexo, de ahí que el gráfico debe ser rastreado por una función afín.

Nota: El epígrafe es el conjunto de puntos en una parcela encima de la gráfica y el subgrafo es el conjunto de puntos en una parcela debajo de la gráfica.

Answer 3

Si la convexidad implica continuidad depende del dominio (¿está en un dominio acotado o de $\mathbb{R}^n$?). Consideremos, por ejemplo, una rana sonriente; la gráfica de la función es la sonrisa, pero en los extremos de la sonrisa, es los ojos. Es una función convexa pero no continua.