Siga la idea de que el ejercicio siguiente, o puede que desee para iniciar con la escritura $$y^2+ay+b=0\Longrightarrow y=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}\text{ or }y=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}.$$ For a while choose $y=\frac {- \sqrt{a^2-4b}}{2}$. Same for $z^2+cz+d=0$.
Entonces $y+z=\frac{-(a+c)-(\sqrt{a^2-4b}+\sqrt{c^2-4d})}{2}$ $$\Longrightarrow (y+z)+\frac{a+c}{2}=-\frac{\sqrt{a^2-4b}+\sqrt{c^2-4d}}{2}$$ By first, squaring both sides you will earn a monic relation for $y+z$ but it has (only) one sqrt so after squaring it for second time you will have a monic relation with no sqrt at $(A[\frac{1}{2}])[T]$. If $\frac{1}{2}\en$ then everything is finished without needing computing the exact relations but if you simplify it, no coefficient will have $\frac{1}{2}$.
El mismo método de trabajo para $xy$ pero tengo la duda de si el segundo método nos da una mejor monic relación de una relación en $(A[\frac{1}{2}])[T]$, puede que desee calcular para ver.
Para aquellos que no simplificar!
Después de hacer la primera plaza tendrá;
$$(y+z)^2+(a+c)(y+z)+\frac{(a+c)^2}{4}=\frac{a^2-4b+c^2+2\sqrt{a^2-4b}\sqrt{c^2-4d}}{4}$$
$$(y+z)^2+(a+c)(y+z)+\frac{2ac}{4}=-b-d
+\frac{\sqrt{a^2-4b}\sqrt{c^2-4d}}{2}$$
Ahora vamos a por el segundo cuadrado, pero como nos quieren deshacerse de los radicales tomamos $-b-d$ a la izquierda y, a continuación, nos cuadrado de lados.
$$(y+z)^4+2(a+c)(y+z)^3+2(\frac{ac}{2}+b+d)(y+z)^2+2(a+c)(\frac{ac}{2}+b+d)(y+z)+(\frac{ac}{2}+b+d)^2=\frac{(a^2-4b)(c^2-4d)}{4}$$
Es obvio que todos los coeficientes será en $A$ e no ha $\frac{1}{2}$, tan solo tenemos que prestar atención a que el coeficiente constante.
$$(\frac{a^2c^2}{4}+b^2+d^2+acb+acd+2bd)-(\frac{a^2c^2}{4}-a^2d-bc^2+4bd)$$
Ahora uno puede ver la forma simplificada y para asegurarse de que no hay fracciones como $\frac{1}{2}$ o $\frac{1}{4}$.
Para $xy$ que nos vamos a encontrar 3 radicales! ¿Qué podemos hacer?
Don;t tenga miedo! 3 radicales no es muy scay caso todavía. Para deshacerse de los 3 a los radicales en una ecuación como $a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}=0$ hacer lo siguiente;
$$a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}=0\Longrightarrow a+\sqrt{b}=-(\sqrt{c}+\sqrt{d})$$
Tome un cuadrado
$$a^2+2a\sqrt{b}+b=c+d+2\sqrt{cd}$$
Entonces estamos en el caso de los dos radicales;
$$a^2+b-c-d=2\sqrt{b}+2\sqrt{cd}$$
Ahora vamos a estar seguros de que no vamos a tener coeficientes de con $\frac{1}{2}$ y así sucesivamente.
$$xy=\frac{a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\frac{c^2+\sqrt{c^2-4d}}{2}=\frac{ac+a\sqrt{c^2-4d}+c\sqrt{a^2-4b}+\sqrt{a^2-4b}\sqrt{c^2-4d}}{4}$$
$$xy-\frac{ac}{4}-\frac{\sqrt{(a^2-4b)(c^2-4d)}}{4}=\frac{a}{4}\sqrt{c^2-4d}+\frac{c}{4}\sqrt{a^2-4b}$$
$$(xy)^2+\frac{a^2c^2}{16}+\frac{(a^2-4b)(c^2-4d)}{16}-\frac{ac}{2}(xy)-\frac{(a^2-4b)(c^2-4d)}{2}((xy)-\frac{ac}{4})=\frac{a^2}{16}(c^2-4d)+\frac{c^2}{16}(a^2-4b)+\frac{ac}{8}\sqrt{(c^2-4d)(a^2-4b)}$$
$$(xy)^2+\frac{a^2c^2}{16}+\frac{a^2c^2}{16}-\frac{a^2d}{4}-\frac{bc^2}{4}+bd-\frac{ac}{2}(xy)-\frac{a^2c^2}{16}+\frac{a^2d}{4}-\frac{c^2a^2}{16}+\frac{bx^2}{4}=(\frac{ac}{8}+\frac{1}{2}(xy)-\frac{ac}{8})\sqrt{(c^2-4d)(a^2-4b)}$$
$$(xy)^2-\frac{ac}{2}(xy)+bd=\frac{1}{2}(xy)\sqrt{(c^2-4d)(a^2-4b)}$$
$$(xy)^4-ac(xy)^3-\frac{a^2c^2}{4}(xy)^2+2bd(xy)^2-acbd(xy)+b^2d^2=\frac{1}{4}(xy)^2(c^2-4d)(a^2-4b)$$
Y en el final
$$(xy)^4-ac(xy)^3+(c^2b+da^2-2bd)(xy)^2-acbd(xy)+b^2d^2=0$$
