Encontrar el poder de th de $2013$ de una matriz de $3\times 3$ dado

Question

Pregunta de mi tarea de algebra lineal que estoy luchando con:

Que $D = \begin{bmatrix} -2 & 5 & 4 \\-1 & 0 & 0 \\0 & 4 & 3 \end{bmatrix}$

Se nos pide:

1. Encontrar $D^5+3D^2-D+I$

2. Encontrar $D^{2013}$

3. Escriba $D^{-1}$ como un polinomio de $D$

Resolví preguntas 1) y 3) pero no puede resolver 2)...

Answer 1

Aquí es cómo me iba a atacar a esa pregunta. Usted necesita encontrar una ecuación polinómica satisfecho por$~D$ primera. Usted podría utilizar el polinomio característico para que (por el Cayley-Hamilton teorema), pero a sabiendas de que un polinomio de grado en la mayoría de las$~3$ existe, usted también puede intentar encontrar una relación entre algunos poderes de$~D$. La escasa segunda línea sugiere que se haga la multiplicación de potencias de $D$$(0~1~0)$, dando la secuencia $(0~1~0),(-1~0~0),(2~{-}5~{-}4),(3~{-}6~{-}4)$. Los tres primeros son claramente linealmente independientes, y la cuarta se da la relación $(0~1~0)-(-1~0~0)-(2~{-}5~{-}4)+(3~{-}6~{-}4)=(0~0~0)$, por lo que su ecuación polinómica debería ser $I-D^1-D^2+D^3=0$, que usted puede comprobar para ser verdad. Ahora $X^3-X^2-X+1=(X-1)(X^2-1)=(X-1)^2(X+1)$. De hecho, su matriz no es diagonalisable debido a la doble raíz.

Para calcular los $X^{2013}$ usted puede tomar su resto$~R$ después de la división por $P=(X-1)(X^2+1)$, por lo que el $X^{2013}=PQ+R$ para algunos (cociente)$~Q$. Para encontrar el resto de la división por un polinomio con tales fácil (complejo) raíces como $P$, el estándar truco para evitar hacer una (muy) la división larga de polinomios es escribir el resto como un polinomio de grado${}<\deg P=3$ con desconocidos coeficientes: $R=aX^2+bX+c$, y evaluar la ecuación de $X^{2013}=PQ+R$ a las raíces de$~P$; ya que estas sustituciones aniquilar el plazo$PQ$, independientemente de$~Q$, que te dan ecuaciones lineales en $a,b,c$. El problema aquí es que sólo tiene dos raíces $1,-1$ a sustituir, a pesar de $1$ es una doble raíz del polinomio mínimo. Hay otro truco para solucionar esta escasez de ecuaciones: desde $1$ también es una raíz de la derivada $P'$$~P$, usted puede tomar la derivada de la ecuación (siendo una identidad de polinomios en$~X$, esto le da una ecuación que debe mantenerse aún), dando a $2013X^{2012}=P'Q+PQ'+R'$. Ahora sustituye $X=1$ a que para obtener una tercera ecuación que te permitirá solucionar $a,b,c$. La respuesta es $aD^2+bD+cI$.

Answer 2

El polinomio característico de $D$ está dada por

$$\chi_D(\lambda) = \det(\lambda I_3 - D) = \lambda^3 - \lambda^2 - \lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 (\lambda+1)$$

Por el teorema de Cayley Hamilton, tenemos

$$\chi_D(D) = D^3 - D^2 - D + I_3 = (D - I_3)^2(D + I_3) = (D^2 - I_3)(D - I_3) = 0$$

Desde $(\lambda + 1)\chi_D(\lambda) = (\lambda^2 - 1)^2$, tenemos $(D^2 - I_3)^2 = 0$ y por lo tanto $$\begin{align} D^{2013} = & (I_3 + (D^2 - I_3))^{1006} D\\ = & (I_3 + 1006 (D^2 - I_3)) D\quad\color{blue}{\longleftarrow \text{throwing away terms}\propto (D^2 - I_3)^2}\\ = & D + 1006 (D^2 - I_3)((D - I_3) + I_3)\\ = & D + 1006 (D^2 - I_3)\quad\color{blue}{\longleftarrow \text{throwing away terms}\propto (D^2 - I_3)(D-I_3)}\\ = & \left[\begin{array}{rrr} -2014 & 6041 & 4028 \\ 2011 & -6036 & -4024 \\ -4024 & 12076 & 8051 \end{matriz} \right] \end{align} $$

Answer 3

Aunque $D$ no es diagonalizable, es la descomposición de Jordan (cortesía de Wolfram Alpha): $$D = SJS^{-1}$ $ donde

$$S = \begin{bmatrix} -1 & 1 & \frac12 \\-1 & -1 & \frac12 \\1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

y

$$J = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Hay una expresión de forma cerrada simple $J^n$, que usted debe ser capaz de buscar y probarte a ti mismo.

Answer 4

Toro cabeza enfoque. 2013 escrito en formato binario es 11111011101.

Por lo tanto, varias veces cuadrado D 10 veces que le da $D$, $D^2$, $D^4$, $D^8$, $D^{16}$, $D^{32}$, $D^{64}$, $D^{128}$, $D^{256}$, #% de % de % de % de % de % de % de % de % de % de %#% y $D^{512}$.

Luego multiplique el $D^{1024}$.

Por lo tanto, usted tendrá que realizar 17 multiplicaciones, que es factible.

Answer 5

OK, encontré la manera de responder esto, pero aún me he encontrado con algunos problemas.

Básicamente la Idea es esta:

toma el polinomio $t^{2013}$ y dividirlo por el polinomio característico que es $-t^3+t^2+t-1$ y obtienes:

$t^{2013} = (-t^3+t^2+t-1)*q(t)+r(t)$ donde $deg(r(t)) \leq deg(-t^3+t^2+t-1)-1 = 2$

$t=1$ y raíces de $t=-1$ $-t^3+t^2+t-1$ así que si $r(x)=ax^2+bx+c$:

$1^{2013} = a+b+c$ and $(-1)^{2013} = a-b+c$

Si encontramos una b c resolvimos la cuestión. Pero ¿cómo encontramos un b c?