¿Cómo pensar en la exponenciación ordinal?

Question

Sólo estoy tratando de entender mejor cómo ver $\alpha^{\beta}$ para un ordinal arbitrario. Ya sé que se puede pensar en $\alpha . \beta$ como $\langle \alpha \times \beta, AntiLex\rangle$ tal que $AntiLex$ es el orden antilexicográfico. Quiero saber si hay una forma análoga (al producto) para pensar en la exponenciación.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}$ Para una función $f:\beta\to\alpha$ definir el soporte de $f$ para ser $\supp(f)=\{\xi\in\beta:f(\xi)\ne 0\}$ . Sea $$F=\left\{f\in{}^\beta\alpha:\supp(f)\text{ is finite}\right\}\;,$$

y que $\preceq$ sea el orden antilexicográfico en $F$ Entonces $\langle F,\preceq\rangle$ es de orden isomorfo a $\langle\alpha^\beta,\le\rangle$ .

Añadido: Acabo de descubrir que esencialmente esta idea se utiliza en este PDF para discutir ciertos aspectos de los poderes $\Delta^\Gamma$ , donde $\Delta$ y $\Gamma$ son órdenes lineales.

Answer 2

Sí, existe esa descripción. Digamos que una función $f:\beta\to\alpha$ tiene apoyo finito si $\{\gamma<\beta\mid f(\gamma)\ne0\}$ es finito. Entonces $\alpha^\beta$ es el tipo de orden del conjunto de funciones $f:\beta\to\alpha$ que tienen soporte finito, ordenados por $$ f<g $$ si, dejando $\gamma$ sea la mayor de ellas, de manera que $f(\gamma)\ne g(\gamma)$ tenemos que $f(\gamma)<g(\gamma)$ . Se puede comprobar (por inducción en $\beta$ o de otro modo), que esta definición coincide con la dada por la recursión transfinita.