Comprobación de una solución a cómo mostrar que $\lim \sup a_nb_n=ab$

Question

En el curso de resolver el problema de Cómo mostrar que $\lim \sup a_nb_n=ab$ me siento que he hecho probablemente algún error en mi solución para que no uso el hecho de que $a_n>0$ $\forall$ $n\geq1.$

Por favor me ayudan a saber el error que he hecho:

• $\exists$ un subsequence $\{a_{r_n}\}$ $\{a_n\}$ tal que $a_{r_n}\to a.$ $a_{r_n}\to a, b_{r_n}\to b\implies a_{r_n}b_{r_n}\to ab\implies ab$ es un subsequencial límite de {$a_nb_n$}. Si es posible, deje $\exists$ un subsequence $\{a_{p_n}b_{p_n}\}$ $\{a_nb_n\}$ tal que $a_{p_n}b_{p_n}\to m>ab.$ Desde $b_n,b>0$ $b_n^{-1}\to b^{-1}>0$ donde $a_{r_n}\to mb^{-1}>a,$ una contradicción a $\lim \sup a_n=a.$ por lo tanto el resultado de la siguiente manera.

Gracias por la votación de la cuestión. Pero que en realidad no eliminar mi confusión. Estoy buscando algo concreto comentarios y opiniones.

Answer 1

Necesitamos algo extra asunción. Considere el siguiente ejemplo (donde $a$ es finita real):

$a_n=a$ si $n$ es impar, $a_n=-n$ si $n$ es incluso,

$b_n=-1.$ (en la notación, $\lim b_n=b=-1$)

Entonces lim sup de $a_n$$a$, y lim $b_n$ es b, sin embargo, tenemos

$a_nb_n=-a$ si $n$ es impar, $a_nb_n=n$ si $n$ es incluso.

Así, en este ejemplo el limsup de $a_nb_n$$+\infty$, mientras que el $ab$ no lo es.

EDIT: he notado que en tu prueba de que usted necesita para utilizar $b>0$ pero la suposición debe ser indicado en el problema.

Answer 2

La prueba es correcta. Se demostró:

Si $\lim\sup a_n=a, \ \lim b_n=b>0$ y $\lim\sup a_nb_n=ab$.

que es cierto.

El % de supuestos $a_n>0$y $b_n>0, \ \forall n\geq1$ son necesarios para esta propuesta:

Si $\lim\sup a_n=a, \ \lim\sup b_n=b$ y $\lim\sup a_nb_n=ab$.

También ver el último corolario aquí.