Permítanme darles una baja frente al contestar a la pregunta, y comenzar con mi anterior respuesta (que tengo un par de downvotes, por lo que hay que tomarlo con una pizca de sal). No he hablado de extensiones cuadráticas.
Estoy suponiendo que el campo base $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ o de $\mathbb{F}_p((\pi))$ donde $p$ es un número primo y $\pi$ es trascendental. (Muy poco va a cambiar si permites $K$ a ser un campo completo para una discreta con valoración perfecto residuo de campo.) Deje $k$ el residuo campo de $K$.
Finito extensiones $L|K$ puede ser unramified, (en el peor) confiando inocentemente ramificado o salvajemente ramificada.. Los tres casos corresponden a $e=1$, $\operatorname{gcd}(e,p)=1$, $p|e$, donde $e$ es el índice de ramificación de $L|K$. No se determina únicamente subcampos $K\subset L_0\subset L'\subset L$ tal que $L_0|K$ es unramified, $L'|L_0$ está totalmente pero confiando inocentemente ramificado, y $L|L'$ es totalmente ramificado de grado $p^s$ algunos $s\in\mathbb{N}$, por lo que es muy ramificado si $s>0$. (Para me $0\in\mathbb{N}$; quiero que sea un aditivo monoid.)
Unramified extensiones puede ser comprendida en términos de las extensiones de los residuos de campo $k$. Al $k$ es finito, como aquí, sólo hay una extensión en cada uno de los grados $n$, y se obtiene por el que se adhiere a la primitiva $(q^n-1)$-ésima raíz de $1$ donde $q=\operatorname{Card}(k)$. De ello se desprende que la máxima unramified extensión de $K$ es obtenido por contigua raíces primitivas de $1$ de primer orden a $p$.
Confiando inocentemente ramificado, las extensiones son sólo un poco más complicado. No es difícil mostrar que si $L|K$ está totalmente pero confiando inocentemente ramificado de grado $n$, $L=K(\root n\of\varpi)$ para algunos uniformiser $\varpi$$K$, y no es difícil determinar cuando dos uniformisers $\varpi$ $\varpi'$ dar la extensión de la misma. Véase, por ejemplo, Lección 18 en mis notas arXiv:0903.2615. Como se muestra allí, la máxima confiando inocentemente se ramifica a la extensión de $T|K$ es obtenido por contigua $\root n\of1$ $\root n\of\varpi$ todos los $n>0$ primer a $p$ donde $\varpi$ es un fijo uniformiser de $K$. Esto permite escribir una simple presentación de la profinite grupo $\operatorname{Gal}(T|K)$ en el que los generadores tienen algunos aritmética importancia.
(Si su base de campo había sido $\mathbb{C}((t))$, cuyas finito extensiones son totalmente pero confiando inocentemente ramificado, que habría sido capaz de concluir en este punto que una clausura algebraica se obtiene junto a una $n$-ésima raíz de $t$ por cada $n>0$.)
¿Qué son todos totalmente ramificado extensiones $L|K$ grado $p^s$ ? Se sabe muy poco acerca de la cuestión. Es fácil ver que sólo hay un número finito de $L$ en la mezcla de caso característico, y una infinidad de $L$ en el equicharacteristic caso, pero no son exactamente $p^s$ extensiones al contado correctamente.
Como Pete dice, el abelian son dadas por la clase de teoría de campo (en términos de índice-$p^s$ subgrupos de $K^\times$). (Pero incluso para $s=1$ hay extensiones que no son galoisian, y yo no los conozco a todos.) El exponente-$p$ puede ser entendida no sólo en términos de Campo de la Clase de Teoría, sino también Kummer Teoría o de Artin-Schreier Teoría.
La pregunta es, precisamente puesto, lo que se conoce sobre el wild ramificación?
La respuesta es, precisamente puesto, no mucho. (Broma, eh ?)
Addendum (26/2/2010). Ayer me encontré con un reciente teorema de Abrashkin que dice, a grandes rasgos, que si te sabes todas las muy ramificado extensiones (junto con su filtración), entonces usted sabe que el campo local.
Más precisamente, vamos a $K$ ser un local de campo de carácter residual $p$, e $P|K$ la máxima pro-$p$-extensión de la $K$ --- la compositum de todos los $p$-extensiones de $K$. El profinite grupo $G=\operatorname{Gal}(P|K)$ viene con la ramificación de filtración (en la parte superior de numeración).
Si $K',P',G'$ es otro ejemplo de triple, y si $\varphi:K\to K'$ es un isomorfismo de los campos de la región, a continuación, se induce un isomorfismo de filtrado pro-$p$grupos $G\to G'$.
Abrashkin del teorema dice que, por el contrario, cada isomorfismo de filtrado pro-$p$grupos $G\to G'$ proviene de un isomorfismo $K\to K'$ de los campos locales. En otras palabras, el campo local $K$ está totalmente determinado por el filtrado pro-$p$grupo $G$. Véase el Teorema en su reciente papel
Este es un refinamiento del anterior teorema de Mochizuki, que trabajó con $\operatorname{Gal}(\tilde K|K)$ donde $\tilde K$ es un separables cierre de $K$.