La pregunta es, precisamente puesto, lo que se conoce sobre el wild ramificación?
Hay un semi-bien establecido teoría de la salvaje ramificación que puede ser promovido en diversas situaciones específicas? O tal vez hay algunas situaciones en las que sabemos mucho, pero lo que sabemos no se aplican a otras situaciones? O son todos los resultados sobre el wild ramificación ad hoc para lo que el autor está interesado?
En resumen: ¿qué hay que saber, y donde está escrito?
Es difícil ser de ayuda con una pregunta vaga. (Compare: ¿Qué se sabe acerca de la diferenciabilidad?) La primera referencia que tendría que ser Serre el libro de los Campos Locales. Para más dimensiones de las variedades, Kazuya Kato tiene una exposición del papel de la Generalización de la Clase de Teoría del Campo, que tiene una sección de mayores dimensiones de la ramificación de la teoría.
La estructura de salvajemente ramificado abelian extensiones de los campos de la región está dada por la clase de teoría del campo (y a la inversa es donde la mayoría de los contenidos de LCFT reside): ver Milne notas o Serre del Cuerpo de Locaux.
Salvajemente ramificado nonabelian extensiones de campos locales son "entendidos" en, al menos, los siguientes dos sentidos [ni uno de los que connota la comprensión perfecta para mí]:
1) El absoluto grupo de Galois de un campo local es un topológicamente finitely presentado profinite grupo, conocidos con los generadores y relaciones.
2) Local Langlands para GLn (como lo demuestran Harris-Taylor y Henniart) tiene algo profundo que decir acerca de la estructura de salvajemente ramificado extensiones.
No sería fructífero para mí a elaborar, ya que existen otros activos MOers que son mucho más conocimiento en estos asuntos. Este era en realidad sólo un comentario largo.
Anexo: previa petición, aquí es algo de material bibliográfico para 1) anterior:
Jannsen, Uwe Über Galoisgruppen lokaler Körper. (En alemán) [En grupos de Galois de los campos locales] Inventar. De matemáticas. 70 (1982/83), no. 1, 53 a 69.
Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay Die Struktur der absoluten Galoisgruppe p-adischer Zahlkörper. (En alemán) [La estructura de la absoluta grupo de Galois de p-ádico número de campos] Inventar. De matemáticas. 70 (1982/83), no. 1, 71--98.
Wingberg, Kay Der Eindeutigkeitssatz für Demuskinformationen. (En alemán) [El teorema de unicidad para Demushkin formaciones] Inventar. De matemáticas. 70 (1982/83), no. 1, 99--113.
Deje $k$ ser una extensión finita de ${\bf Q}_p$ $p\neq 2$ $\overline k$ ser el algebraicas cierre de $k$. El estudio del grupo de Galois $G_k = G(\overline k/k)$ fue iniciado por K. Iwasawa [Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 80 (1955), 448--469; MR0075239 (17,714 g)] y, a continuación, principalmente, en varios trabajos de A. V. Yakovlev y el revisor. Yakovlev [Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 32 (1968), 1283--1322; MR0236155 (38 #4453)] tuvo éxito en la descripción de $G_k$ como profinite grupo con los generadores y relaciones. Pero su resultado no fue satisfactorio, ya que la estructura de una relación que viene de Demushkin de la relación para la máxima $p$-extensiones era bastante complicada, especialmente en el caso de $n = [k: Q_p]\equiv 1\ (\text{mod}\,2)$. Por lo tanto, el revisor considera que la cuestión una vez más [Dokl. Akad. Nauk SSSR 238 (1978), 19--22; MR0472776 (57 #12466)] y dio un cohomological caracterización de $G_k$ como un filtrado del grupo con la filtración por la inercia de grupo $T_k$ e las $p$-Sylow grupo $V_k$ de la inercia del grupo. Los tres documentos objeto de examen puede ser considerada como la respuesta definitiva a la cuestión de la estructura de $G_k$. El progreso con respecto a los mencionados documentos anteriores consiste en lo siguiente: (1) Los autores dan una descripción de $G_k$ con dos relaciones, en lugar de tres relaciones, como en la obra anterior en $G_k$, lo que simplifica la situación. (2) Para la primera hora de dar una descripción satisfactoria del caso $n\equiv 1\ (\text{mod}\,2)$. (3) el estudio de La $G_k$ se basa en la noción de Demushkin formaciones, que fue introducido por el revisor [op. cit.]. La prueba de la singularidad de un Demushkin formación con los invariantes que caracteriza a $G_k$ como un filtrado del grupo se da en todo detalle, basado en la estructura de teoremas en el módulo de teoría. Finalmente, los autores dan una descripción explícita de un Demushkin formación con invariantes por medio de la $n+3$ generadores y dos relaciones. El caso de $p=2$ permanece abierto.
Revisado por Helmut Koch
Es el siguiente trabajo de Kerz y Saito:
http://arxiv.org/abs/1304.4400
En particular, uno puede ver a su Coro. II como una de mayores dimensiones análogo del teorema de existencia, que codifica p-extensiones (ver Artin-Schreier-Witt teoría), y por lo tanto salvaje consecuencia de variedades.
Permítanme darles una baja frente al contestar a la pregunta, y comenzar con mi anterior respuesta (que tengo un par de downvotes, por lo que hay que tomarlo con una pizca de sal). No he hablado de extensiones cuadráticas.
Estoy suponiendo que el campo base $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ o de $\mathbb{F}_p((\pi))$ donde $p$ es un número primo y $\pi$ es trascendental. (Muy poco va a cambiar si permites $K$ a ser un campo completo para una discreta con valoración perfecto residuo de campo.) Deje $k$ el residuo campo de $K$.
Finito extensiones $L|K$ puede ser unramified, (en el peor) confiando inocentemente ramificado o salvajemente ramificada.. Los tres casos corresponden a $e=1$, $\operatorname{gcd}(e,p)=1$, $p|e$, donde $e$ es el índice de ramificación de $L|K$. No se determina únicamente subcampos $K\subset L_0\subset L'\subset L$ tal que $L_0|K$ es unramified, $L'|L_0$ está totalmente pero confiando inocentemente ramificado, y $L|L'$ es totalmente ramificado de grado $p^s$ algunos $s\in\mathbb{N}$, por lo que es muy ramificado si $s>0$. (Para me $0\in\mathbb{N}$; quiero que sea un aditivo monoid.)
Unramified extensiones puede ser comprendida en términos de las extensiones de los residuos de campo $k$. Al $k$ es finito, como aquí, sólo hay una extensión en cada uno de los grados $n$, y se obtiene por el que se adhiere a la primitiva $(q^n-1)$-ésima raíz de $1$ donde $q=\operatorname{Card}(k)$. De ello se desprende que la máxima unramified extensión de $K$ es obtenido por contigua raíces primitivas de $1$ de primer orden a $p$.
Confiando inocentemente ramificado, las extensiones son sólo un poco más complicado. No es difícil mostrar que si $L|K$ está totalmente pero confiando inocentemente ramificado de grado $n$, $L=K(\root n\of\varpi)$ para algunos uniformiser $\varpi$$K$, y no es difícil determinar cuando dos uniformisers $\varpi$ $\varpi'$ dar la extensión de la misma. Véase, por ejemplo, Lección 18 en mis notas arXiv:0903.2615. Como se muestra allí, la máxima confiando inocentemente se ramifica a la extensión de $T|K$ es obtenido por contigua $\root n\of1$ $\root n\of\varpi$ todos los $n>0$ primer a $p$ donde $\varpi$ es un fijo uniformiser de $K$. Esto permite escribir una simple presentación de la profinite grupo $\operatorname{Gal}(T|K)$ en el que los generadores tienen algunos aritmética importancia.
(Si su base de campo había sido $\mathbb{C}((t))$, cuyas finito extensiones son totalmente pero confiando inocentemente ramificado, que habría sido capaz de concluir en este punto que una clausura algebraica se obtiene junto a una $n$-ésima raíz de $t$ por cada $n>0$.)
¿Qué son todos totalmente ramificado extensiones $L|K$ grado $p^s$ ? Se sabe muy poco acerca de la cuestión. Es fácil ver que sólo hay un número finito de $L$ en la mezcla de caso característico, y una infinidad de $L$ en el equicharacteristic caso, pero no son exactamente $p^s$ extensiones al contado correctamente.
Como Pete dice, el abelian son dadas por la clase de teoría de campo (en términos de índice-$p^s$ subgrupos de $K^\times$). (Pero incluso para $s=1$ hay extensiones que no son galoisian, y yo no los conozco a todos.) El exponente-$p$ puede ser entendida no sólo en términos de Campo de la Clase de Teoría, sino también Kummer Teoría o de Artin-Schreier Teoría.
La pregunta es, precisamente puesto, lo que se conoce sobre el wild ramificación?
La respuesta es, precisamente puesto, no mucho. (Broma, eh ?)
Addendum (26/2/2010). Ayer me encontré con un reciente teorema de Abrashkin que dice, a grandes rasgos, que si te sabes todas las muy ramificado extensiones (junto con su filtración), entonces usted sabe que el campo local.
Más precisamente, vamos a $K$ ser un local de campo de carácter residual $p$, e $P|K$ la máxima pro-$p$-extensión de la $K$ --- la compositum de todos los $p$-extensiones de $K$. El profinite grupo $G=\operatorname{Gal}(P|K)$ viene con la ramificación de filtración (en la parte superior de numeración).
Si $K',P',G'$ es otro ejemplo de triple, y si $\varphi:K\to K'$ es un isomorfismo de los campos de la región, a continuación, se induce un isomorfismo de filtrado pro-$p$grupos $G\to G'$.
Abrashkin del teorema dice que, por el contrario, cada isomorfismo de filtrado pro-$p$grupos $G\to G'$ proviene de un isomorfismo $K\to K'$ de los campos locales. En otras palabras, el campo local $K$ está totalmente determinado por el filtrado pro-$p$grupo $G$. Véase el Teorema en su reciente papel
Este es un refinamiento del anterior teorema de Mochizuki, que trabajó con $\operatorname{Gal}(\tilde K|K)$ donde $\tilde K$ es un separables cierre de $K$.
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