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Question

Estoy tratando de resolver $\int{\sin^3(x)\cos^2(x)}dx$.

Tengo $-\frac{1}{2}\cos(x)+C$, pero la nota dice $\frac{1}{5}\cos^5(x)-\frac{1}{3}\cos^3(x)+C$

Este es mi trabajo:

¡Se agradece tu ayuda!

Answer 1

Reescribir como

$$\int(1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x \ dx$$

y $t=\cos x\Rightarrow dt = -\sin x \ dx$.

Answer 2

Sugerencia:

Será fácil si no escribes $\cos^2x$ $1-\sin^2x$. Escribir el integrando como $\sin x(1-\cos^2x)\cos^2x$ $t=\cos x$ establezca.

Answer 3

Yo tenía el reto de hacer esta pregunta sin utilizar cualquiera de sustitución o, incluso,$\sin^2 x + \cos^2x = 1$,

$\sin^3 x \cdot\cos^2 x \\ = \sin x \cdot \sin^2 x \cdot \cos^2 x\\ = \sin x \cdot (\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cdot\cos x)^2\\ = \sin x \cdot (\frac{1}{2} \sen 2x)^2\\ = \frac{1}{4}\cdot (\sin x \cdot \sen 2x) \cdot \sen 2x\\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)\cdot \sen 2x\\ = \frac{1}{8}\cdot (\sin2x\cdot \cos x - \sin2x\cdot \cos3x)\\ =\frac{1}{8}\cdot[\frac{1}{2}(\sin x + \sen 3x) - \frac{1}{2}(\sin (x) + \sin5x) ]\\ =\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2} (\sin x + \sen 3x + \sin x - \sen 5x)\\ =\frac{1}{16}(2\sin x + \sin3x - \sen 5x)\\$

$$\, por tanto \int{(\sin^3x\cdot\cos^2x)}\cdot dx \\ = \frac{1}{16}\int{(2\sin x + \sin3x - \sen 5x)}\cdot dx\\ = \frac{(-\cos x)}{8} + \frac{(-\cos3x)}{3\times 16} - \frac{(-\cos5x)}{5\times 16} + C\\ = \frac{\cos5x}{80} - \frac{\cos3x}{48} - \frac{\cos x}{8} + C$$

$\dots$que no es la respuesta en la nota, pero eso no quiere decir que no está bien.

Ahora bien, si hay cualquier profesor de matemáticas por ahí que no acepta mi respuesta en un examen escrito, por favor, hablar o para siempre de tu paz.

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Edit: Este video podría útil para preguntas generales de este tipo

Answer 4

Sólo para comentar sobre su intento de solución (en la foto en tu post).

Usted escribió: $$ \int \sin^3 x \cos^2x\,\mathrm{d}x = \\ \int \sen x (1-\cos^2x)(1-\sin^2)\,\mathrm{d}x=\\ \int \sen x (1-\cos^2x-\sin^2x+\cos^2x\sin^2)\,\mathrm{d}x\desbordado{*}=\\ \int \sen x (1-\cos^2x\sin^2)\,\mathrm{d}x=\\ \int \sin x \,\mathrm{d}x \int \sin^3 x \cos^2x\,\mathrm{d}x $$ $2I=\int \sin x \,\mathrm{d}x$ $I=-\frac12\cos x+C$

Creo que el error está en el paso marcado por $(*)$, donde se equipara estas dos cosas $$1-\cos^2x-\sin^2x+cos^2x\sin^2x \overset{?}= 1-\cos^2x\sin^2x$$ Si conecta $x=0$, usted va a ver que no son iguales. (LHS es igual a 0 $x=0$ y el lado derecho es igual a 1.)

Esto ya ha sido mencionado en los comentarios.

Answer 5

Esto puede ser reescrito como $ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) dx $

utilizando la propiedad que $ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) $, podemos reescribir el integral original como

$ \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x)dx $

nos lleva a sustituir $u = \cos(x)$

$ -\int (1 - u^2)(u^2)du $

= $ -\int u^2 - u^4 du$

Ahora tenemos un integrando fácil para trabajar con:

$ -\int u^2 - u^4 du = -(\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C) $

= $\frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C$

sustituir $ u = \cos(x) $ para obtener la respuesta final

$\frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{cos^3(x)}{3} + C$