Commutativity de límites iteradas

Question

El siguiente es un extraño resultado que he obtenido con iterada límites. Debe haber un error en algún lugar de la persona en el razonamiento, pero no puedo descubrir qué es. El problema es que, en general, a afirmar los límites no se supone que para ser conmutativa. Sin embargo, la supuesta prueba de abajo parece indicar que están siempre. Hice un error en alguna parte?

Deje $F$ ser una función con valores reales de dos variables reales definidas en algunos región alrededor de $(a,b)$. A continuación, el estándar límite [ correcta? ] de $F$ $(x,y)$ enfoques $(a,b)$ es igual a $L\,$ si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $F$ satisface: $$ | F(x,y) - L | < \epsilon $$ siempre que la distancia entre el $(x,y)$ $(a,b)$ satisface: $$ 0 < \sqrt{ (x-a)^2 + (y-b)^2 } < \delta $$ Vamos a utilizar la siguiente notación para tales límites de funciones de dos variables: $$ \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)} F(x,y) = L $$ Nota. En este momento, no queremos considerar los límites donde (uno) de los independientes variable(s) se aproxima a infinito.

Luego consideraremos la siguiente iteraciónlímite: $$ \lim_{y\rightarrow b} \left[ \lim_{x\rightarrow a} F(x,y) \right] = L $$ Teorema. Conmutatividad de la iterada límites. $$ \lim_{y\rightarrow b} \left[ \lim_{x\rightarrow a} F(x,y) \right] = \lim_{x\rightarrow a} \left[ \lim_{y\rightarrow b} F(x,y) \right] = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)} F(x,y) $$ Prueba. Hemos dividido la primera iteración en el límite de dos piezas: $$ \lim_{x\rightarrow a} F(x,y) = F_a(y) $$ Y: $$ \lim_{y\rightarrow b} F_a(y) = L $$ Así, se hace evidente que la (primera) a afirmar que el límite está realmente definido de la siguiente manera.
Para cada $\epsilon_x > 0$ hay algo de $\delta_x > 0$ tal forma que: $$ | F(x,y) - F_a(y) | < \epsilon_x \quad \mbox{siempre} \quad 0 < | x - a | < \delta_x $$ Para cada $\epsilon_y > 0$ hay algo de $\delta_y > 0$ tal forma que: $$ | F_a(y) - L | < \epsilon_y \quad \mbox{siempre} \quad 0 < | y - b | < \delta_y $$ Aplicando la desigualdad de triángulo $|a| + |b| \ge |a + b|$ le da: $$ | F(x,y) - F_a(y) | + | F_a(y) - L | \ge | F(x,y) - L | $$ En consecuencia: $$ | F(x,y) - L | < \epsilon_x + \epsilon_y $$ Por otro lado tenemos: $$ 0 < | x - a | < \delta_x \qquad \mbox{y} \qquad 0 < | y - b | < \delta_y $$ Por lo tanto: $$ 0 < \sqrt{ (x-a)^2 + (y-b)^2 } < \sqrt{ \delta_x^2 + \delta_y^2 } $$ Esta es exactamente la definición de la anterior norma de límite de una función de dos variables si ponemos: $$ \epsilon = \epsilon_y + \epsilon_y \qquad \mbox{y} \qquad \delta = \sqrt{\delta_x^2 + \delta_y^2} $$ Por lo tanto: $$ \lim_{y\rightarrow b} \left[ \lim_{x\rightarrow a} F(x,y) \right] = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)} F(x,y) $$ En mucho la misma manera podemos demostrar que: $$ \lim_{x\rightarrow a} \left[ \lim_{y\rightarrow b} F(x,y) \right] = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)} F(x,y) $$ QED

Answer 1

Gran pregunta! El error en la prueba es algo sutil.

Supongamos que $F_a(y) = \lim_{x\to a}F(x,y)$ existe para todas las $y$ lo suficientemente cerca de a $b$. Deje $\epsilon > 0$. Entonces, por definición, no existe $\delta(y) > 0$ posiblemente dependiente de $y$ tal que

$$ |x - a| < \delta(y) \implica |F(x,y) - F_a(y)| < \epsilon/2. $$

Además, supongamos que el $L = \lim_{y\to b}F_a(y)$ existe. Entonces existe $\delta > 0$ tal que $$ a |a - b| < \delta \implica |F_a(y) - L| < \epsilon/2. $$

Así que si $|y-b| < \delta$$|x-a| < \delta(y)$, de hecho estamos $$ |F(x,y) - L| \leq \epsilon. $$ Sin embargo, esto es sólo para $|y-b| < \delta$$|x-a| < \delta(y)$, que (dependiendo de la función $\delta(y)$) no puede ser un barrio de $(x,y)$$\mathbb{R}^2$. En consecuencia, esto no es lo mismo que decir $\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y) = L$. Declaraciones similares pueden hacerse respecto a la segunda mitad del argumento.

Espero que esto tenga sentido!

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Edit: Gracias por el esclarecimiento de los supuestos en tu comentario. Buena noticia: estás en lo correcto! De hecho, todo lo que usted necesita asumir es que el $\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)$ existe. Intuitivamente, esto es debido a que $\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y) = L$ significa que $F(x,y) \to L$ $(x,y)$ enfoques $(a,b)$ a lo largo de cualquier camino, y se puede pensar en la iteración de los límites de los límites de $F(x,y)$ $(x,y)$ enfoques $(a,b)$ a lo largo de particular a las rutas. Así que la suposición de $F(x,y) \to L$ $(x,y) \to (a,b)$ incluye las declaraciones de $\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}F(x,y) = L$ $\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}F(x,y)$ como casos especiales.

Una precisa la prueba de esta afirmación es probablemente el más fácil de escribir, empezando con la definición del límite $L = \lim_{(x,y) \to (a,b)}F(x,y)$ y que muestra (de manera similar a lo que estaba haciendo) que la iteración de los límites de la igualdad de $L$.

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Edit 2: Esto es en respuesta a tu último comentario:

Por ejemplo supongamos que a>0 y b>0 y la construcción de dos caminos, por ejemplo de origen $(0,0)$ a el punto límite $(a,b)$. Deje $(x_1(t),y_1(t))=(t,0)$$0\leq t\leq a$$=(a,t−a)$$a≤t≤a+b$. Definir $G_1(t)=F(x_1(t),y_1(t))$ y la ruta "límite" $\lim_{t\to a+b}G_1(t)$. Deje $(x_2(t),y_2(t))=(0,t)$$0\leq t\leq b$$=(t−b,b)$$b\leq t\leq a+b$. Definir $G_2(t)=F(x_2(t),y_2(t))$ y la ruta "límite" $\lim_{t\to a+b}G_2(t)$. Estoy de acuerdo con usted en que, en general, $\lim_{t\to a+b}G_1(t)\neq \lim_{t\to a+b}G_2(t)$. Pero estos no son iteradas límites.

No importa que no son iteradas límites. Si vuelve a leer mi último comentario, mi punto es que, incluso si la iterada límites convergen en el mismo valor, es decir, $\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}F(x,y) = L = \lim_{y\to b}\lim_{x\to a}F(x,y)$, puede muy bien ser el caso que el límite de $\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)$ no existe, ya que esto podría no converger a $L$ a lo largo de otras rutas de acceso a $(a,b)$ (que por la definición de $\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)$ todas convergen en el mismo valor). Un ejemplo de esto es$F(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$$(x,y) \to (0,0)$. Es fácil ver que $$ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to0}\frac{xy}{x^2+y^2} = \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0. $$ De hecho, $F(x,0) = 0 = F(0,y)$ todos los $x,y \neq 0$, y por lo tanto cada barrio de $(0,0)$ contiene un punto de $(x,y)$ a que $F(x,y) = 0$.

Sin embargo, el límite de $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ no existe. Por ejemplo, a lo largo de la línea de $y=x$, la función es igual a $$ F(x,x) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}. $$ Así que en cada barrio de $(0,0)$ contiene un punto de $(x,y)\neq (0,0)$ a que $F(x,y) = 1/2$. (Para cualquier $\delta > 0$, elija $(x,y) = (x,x)$ donde $|x| < \delta/\sqrt2$. A continuación,$\|(x,x)-(0,0)\| = \sqrt{2x^2} < \delta$, y hemos mostrado $F(x,x) = 1/2$.) Hemos demostrado que $F(x,y)$ toma los valores $0$ $1/2$ en todos los barrios de $(0,0)$, y por lo $\lim_{(x,y)\to(0,0)}F(x,y)$ no existe.

Answer 2

Hay una propiedad llamada "uniforme de continuidad" y es más fuerte que el "lado" de la continuidad. Considerar la secuencia de las funciones $$f_n(x)=n^2xe^{-nx}, \; x>0,\; n=1,2,\dots$$ Es fácil demostrar que para cada una de las $n$, el máximo de $f_n(x)$ $x\ge0$ $\;n/e$ y se logra a $x_n=1/n$. También para cualquier fijo $x\ge0$, $f_n(x) \to 0$ como $n \to \infty$. La notación $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0$ es un poco engañoso en este contexto. ¿Cómo podemos tener y que todavía tienen una secuencia $x_n$ tal que $f_n(x_n)=n/e$ ? La definición es: $\forall \epsilon \gt 0, \exists \; N \gt 0$ tal que $f_n(x) \lt \epsilon \; \forall \;n \gt N$. Pero esto $N$ puede ser (y es en este ejemplo) un (unbounded) la función de $x$. La definición de convergencia uniforme en decir $\bar{x}$: $\forall \epsilon \gt 0, \exists \; N \gt 0$ e una $\alpha \gt 0$ tal que $f_n(x) \lt \epsilon \; \forall \;n \gt N$$\forall x \in(\bar{x}- \alpha,\bar{x}+\alpha)$. Aquí tenemos la continuidad y la continuidad uniforme en todas partes, pero no tenemos uniforme de continuidad en $x=0$. Para cortar el cuento largo corto, si usted tiene la existencia de un "lados" límite de sobre, por ejemplo, $x$ uniforme y continuidad en $y$, entonces usted tiene todo. De manera similar, comenzando con $y$.