Una pregunta sobre invariación de Lorentz de la acción de Polyakov

Question

Tengo un super básico y estúpido de la pregunta acerca de la invariancia de Lorentz de la Polyakov acción (no se puede omitir la advertencia..) $$S_p[X,\gamma]=-\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \int_0^l d \sigma (-\gamma)^{1/2} \gamma^{ab} \partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu} $$

Me pueden escribir de la acción (mediante tensor métrico $\gamma^{ab}$) $$S_p[X,\gamma]=-\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \int_0^l d \sigma (-\gamma)^{1/2} \partial^a X^{\mu} \partial_a X_{\mu} $$

El Lagrangiano es, obviamente, invariantes bajo la adecuada transformación de Lorentz. $\partial^a X^{\mu} \partial_a X_{\mu}$ es un escalar de Lorentz. $d\tau d\sigma$ transforma con un determinante es igual a 1 para la correcta transformación de Lorentz. $(-\gamma)^{1/2} $ también se transforma con un determinante es igual a 1.

Pero para el rango de integración $[0,l]$, hay contracción de longitud en virtud de un impulso. ¿Por qué la acción todavía es invariante bajo la transformación de Lorentz? (o estoy totalmente equivocado en algo....)

Answer 1

Usted está confundiendo el espacio-tiempo de la simetría de Lorentz y el mundo de la hoja de la simetría de Lorentz.

El espacio-tiempo de la simetría de Lorentz sólo actúa en los campos localmente en el mundo de la hoja, $$ X^\mu (\sigma,\tau) \to \Lambda^\mu{}_\nu X^\nu (\sigma,\tau).$$ Tenga en cuenta que las coordenadas $\sigma,\tau$ no han cambiado en absoluto, así que no hay contracción de la coordenada $\sigma$ sobre el mundo de la hoja. El espacio-tiempo de la simetría de Lorentz, sólo actúa en el griego de los índices de la cual es: ¿cómo podemos comprobar la invariancia. La interpretación física es la habitual de la simetría de Lorentz si la teoría de cuerdas es utilizado como una descripción del espacio-tiempo de la física.

Por otro lado, el mundo de la hoja de la teoría también a nivel local tiene la $SO(1,1)$ simetría de Lorentz en el mundo de la hoja, que sólo actúa en los dos $\sigma,\tau$ coordenadas es decir, en el latín de los índices de $a,b$. Esta simetría se rompe si el mundo de la hoja es compactified es decir, si $\sigma$ abarca un periódico o un intervalo. Pero todavía hay ininterrumpida Weyl/diff diffeomorphisms en el mundo de la hoja, la conformación de las transformaciones, que debe ser cuidadosamente tomadas en cuenta durante la cadena de cálculos. Todas estas simetrías son "auxiliares" como indicador de la simetría de todos los observables de los estados y los operadores en el espacio-tiempo debe ser invariante bajo ellos (camisetas interiores).