Encontrar las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ y otras cuestiones

Question

Estoy leyendo un artículo en el cual se resuelve la ecuación: $$a^3-2b^3=\pm 1$$ en números enteros mediante la teoría algebraica de números.

El número de $a-b\alpha$,$\alpha=\sqrt[3]{2}$, es una unidad en $\mathbb{Z}[\alpha]$. Las unidades de este anillo son, a firmar, los poderes de la sola unidad $1+\alpha+\alpha^2$. Con algo de trabajo se encuentra que $|a-b\alpha|$ sólo puede ser el cero-esima potencia, por lo que el$a=\pm 1$$b=0$.

1) ¿por Qué son las unidades de el anillo único poderes de $1+\alpha+\alpha^2$? No puedo encontrar nada para este efecto en mi libro de texto y búsquedas en la web no activar con cualquier cosa.

2) no $|a-b\alpha|$ $(-1)$th la potencia y $a=b=\pm 1$?

La segunda pregunta he llegado a la conclusión que es un error menor, pero no puedo estar satisfecho con esta solución sin una prueba para mi primera pregunta.

El Documento en cuestión: http://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf

Sección relevante es hacia el final de la segunda página.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, de Dirichlet de la unidad teorema muestra que el grupo de unidades en $\mathbb Z[2^{1/3}]$ (que es el total de anillo de enteros en $\mathbb Q(2^{1/3})$ --- ver esta pregunta) consta de los elementos de la forma $\pm \eta^n$ por alguna unidad fundamental de la $\eta$. La prueba de Dirichlet del teorema debe ser eficaz en el principal (tal vez este libro adopta una perspectiva que ayuda a hacer las cosas de efectividad), y supongo que en la práctica lo suficientemente simple campos (como $\mathbb Q(2^{1/3})$). En cualquier caso, se puede utilizar un equipo de paquetes de álgebra (como la salvia) para determinar que $1+\alpha + \alpha^2$ es una unidad fundamental (suponiendo que es; yo no comprobar).

Usted está en lo correcto que $(1+\alpha + \alpha^2)^{-1} = -1 + \alpha,$, por lo que los autores del documento que usted está leyendo mistated su reclamación. [En el contexto del papel que la lectura, tenga en cuenta que $a = 1, b = 0$ realmente conduce a la solución de $x = 0, y = 1$, y es el que se omite la solución de $a = b = 1$, lo que conduce a $x = 2, y = 3$.]

También, aunque es fácil ver que cualquier potencia de $1+\alpha+\alpha^2$ tiene un valor distinto de cero, el coeficiente de $\alpha^2$ (si escribimos $(1+\alpha+ \alpha^2)^n = a_n + b_n\alpha + c_n \alpha^2$, entonces no es un simple recursividad para $a_n,b_n,c_n$ en términos de $a_{n-1}, b_{n-1},c_{n-1}$, y uno ve que $a_n,b_n,c_n$ siempre son positivos, debido a que esta recursividad sólo implica la suma, no resta, y $a_1 = b_1 = c_1 = 1$ es positivo), esto es menos obvio (al menos para mí) para las potencias negativas, ya que, aunque hay también un simple recursividad para los coeficientes de $(1-\alpha)^n$, en este caso la recursividad tiene una mezcla de signos, y los coeficientes varían en signo, de modo que usted tendrá que trabajar más duro para comprobar que el coeficiente de $\alpha^2$ nunca es cero cuando $n > 1$ (de nuevo, suponiendo que es verdad, que yo no intente comprobar).