Si $A \subseteq X\land B \subseteq Y$ es cualquier juegos, probar que $f(A\cap f^{-1}(B)) \subseteq f(A) \cap B$

Question

Si $A \subseteq X\land B \subseteq Y$ son lances, y $f:X\to Y$, demuestran que, a $f(A\cap f^{-1}(B)) \subseteq f(A) \cap B$

Aquí es lo que he hecho para la prueba, sólo necesito un poco de orientación en el acabado.

Prueba:

Supongamos $A \subseteq X \text{ and } B \subseteq Y$, Vamos a $z \in f(A \cap f^{-1}(B))$ ser arb.

Primero he descomprimido la declaración de la meta:

$ \Rightarrow z \in f(A) \cap B $

$ \Rightarrow z \in f(A) \land z \in B $

$ \Rightarrow \exists x \in A \text{ s.t } z = f(x) \land z \in B $

A continuación, he descomprimido el suposiciones:

$ \Rightarrow \exists x \in A \cap f^{-1}(B) \text{ s.t } z = f(x) $

$ \Rightarrow \exists x \in A \de la tierra x \in f^{-1}(B) \text{ s.t } z = f(x) $

$ \Rightarrow \exists (x \in A \text{ s.t } z = f(x)) \de la tierra (x \Y \de la tierra x \in B \text{ s.t } z = f(x)) $

Así que he comprobado que $ \exists x \in A \text{ s.t } z = f(x) $, pero ¿cómo hago para demostrar que $x \subseteq Y$$z \in B$?

Answer 1

Usted podría rentable ir un paso más allá en el desarrollo del objetivo: se desea mostrar que hay un $x\in A$ tal que $z=f(x)\in B$. Ahora tome el primer paso en su desembalaje de la hipótesis (pero con la errata corregida): hay un $x\in A\cap f^{-1}[B]$ tal que $z=f(x)$. Eso es exactamente lo que usted desea: desde $x\in f^{-1}[B]$, es inmediato que $f(x)\in B$.

Y ahora que la exploración haya terminado, y los dos extremos se han reunido en el medio, usted puede escribir correctamente:

Deje $z\in f\big[A\cap f^{-1}[B]\big]$ ser arbitraria; a continuación, $z=f(x)$ algunos $x\in A\cap f^{-1}[B]$. A continuación,$z=f(x)\in f[A]$$z=f(x)\in f\big[f^{-1}[B]\big]\subseteq B$, lo $z\in f[A]\cap B$, y, por tanto,$f\big[A\cap f^{-1}[B]\big]\subseteq f[A]\cap B$.

Answer 2

Así que usted tiene $x\in A$, que $z = f(x) \in f(A)$.

Y $x\in f^{-1}(B)$ % que $z = f(x) \in f(f^{-1}(B))\subseteq B$.

En todos los % y $z\in f(A)$ $z\in B$, que $z\in f(A)\cap B$.

Answer 3

Permítanme añadir un cálculo respuesta a esta pregunta vieja. En todo yo se supone implícitamente que $x \in X$, $y \in Y$, $A, A_1, A_2 \subseteq X$ y $B \subseteq Y$. Y estoy asumiendo que, aparte de la teoría de conjuntos y la lógica, sólo estamos autorizados a utilizar las siguientes propiedades básicas, que mantenga por cualquier $A$, $B$, $x$, y $y$: \begin{array}\\ (0) & y \in f[A] & \equiv & \langle \exists x : x \in A : f(x) = y \rangle \\ (1) & x \in f^{-1}[B] & \equiv & f(x) \in B \\ \end{array} Utilizando sólo estas propiedades le hacen la prueba de un poco más de tiempo, pero como verás es sobre todo muy mecánico: expandir los dos anteriores "definiciones" y hacer lo que es natural.

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Mirando la forma de $$(2)\;\;\;f[A\cap f^{-1}[B]] \;\subseteq\; f[A] \cap B$$ the first thing that warrants investigation is the left hand side. Can we simplify it? Let's be bold, and look at the more general $f[A_1 \cap A_2]$: for any $s$, $A_1$ and $A_2$ \begin{align} & y \in f[A_1 \cap A_2] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property %#%#%"} \\ & \langle \exists x : x \in A_1 \cap A_2 : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set theory: definition of %#%#%"} \\ & \langle \exists x : x \in A_1 \land x \in A_2 : f(x) = y \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\;\;\text{"logic: weaken by splitting range of %#%#%"} \\ & \langle \exists x : x \in A_1 : f(x) = y \rangle \;\land\; \langle \exists x : x \in A_2 : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property %#%#%, twice"} \\ & y \in f[A_1] \;\land\; y \in f[A_2] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set theory: definition of %#%#%"} \\ & y \in f[A_1] \cap f[A_2] \\ \end{align} Así, por la definición de $(0)$ hemos probado que $\cap$$\exists$A_1$(0)$A_2$\cap$$\;\subseteq\;$B$ \begin{align} & f[A \cap f^{-1}[B]] \\ (*)\;\;\subseteq & \;\;\;\;\;\text{"by %#%#%"} \\ & f[A] \cap f[f^{-1}[B]] \\ \end{align} Que directamente nos lleva a la siguiente investigación: ¿qué podemos decir acerca de $$(3)\;\;f[A_1 \cap A_2] \;\subseteq\; f[A_1] \cap f[A_2]$? Bueno, para cualquier $ for any $ $ and $ \begin{align} & y \in f[f^{-1}[B]] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property %#%#%"} \\ & \langle \exists x : x \in f^{-1}[B] : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property %#%#%"} \\ & \langle \exists x : f(x) \in B : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: use right hand part in left"} \\ & \langle \exists x : y \in B : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify: extract %#%#%, which does not use %#%#%, out of %#%#%"} \\ & y \in B \;\land\; \langle \exists x : : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"make implicit assumption explicit -- to allow us to use %#%#%"} \\ & y \in B \;\land\; \langle \exists x : x \in X : f(x) = y \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property %#%#%; definition of %#%#%"} \\ & y \in B \cap f[X] \\ \end{align} Por el conjunto de extensionality, ahora hemos demostrado que $. Using this, our first main step is, for any $$ and $B$. Por lo tanto, continuamos nuestro principal cálculo, para cualquier $(3)$$f[f^{-1}[B]]$: \begin{align} & f[A] \cap f[f^{-1}[B]] \\ = & \;\;\;\;\;\text{"simplify %#%#% using %#%#%"} \\ & f[A] \cap B \cap f[X] \\ (**)\;\;\subseteq & \;\;\;\;\;\text{"set theory -- working toward the right hand side of (2)"} \\ & f[A] \cap B \\ \end{align} Esto completa la prueba.

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Nota cómo el enfoque de cálculo nos ayudó a descubrir dos hechos agradables en este dominio. Finalmente, hay una tercera. Buscando en los lugares donde esta prueba tiene una desigualdad, es decir, los pasos marcados $y$$B$, cuándo vamos a tener una igualdad, es decir, cuando el más general $(0)$$(1)$(**)$y \in B$f[X] = Y$x$f$\exists$(*)$(0)$f$(0)$f$\cap$f$ es un bijection.